Equazione con i numeri complessi
Qualcuno può aiutarmi a risolverla?
iz^3 = z*
(con l'asterisco mi riferisco a z coniugato).
iz^3 = z*
(con l'asterisco mi riferisco a z coniugato).
Risposte
Devi passare alla rappresentazione modulo e fase.
$i z^3 = z^\star$
$\rho^3 e^ {i(3\theta + \pi/2)} = \rho e^(-i\theta)$
da cui
$\rho ^2 = 1$
$\rho = 1$
(la soluzione -1 verra' compresa nell'angolo)
$3\theta + \pi/2 = -\theta + 2k\pi$
$4\theta = - \pi/2 + 2k\pi$
$\theta = -\pi/8 + k/2\pi$
$i z^3 = z^\star$
$\rho^3 e^ {i(3\theta + \pi/2)} = \rho e^(-i\theta)$
da cui
$\rho ^2 = 1$
$\rho = 1$
(la soluzione -1 verra' compresa nell'angolo)
$3\theta + \pi/2 = -\theta + 2k\pi$
$4\theta = - \pi/2 + 2k\pi$
$\theta = -\pi/8 + k/2\pi$
Ciao Acessandro,
Benvenuto sul forum!
Nella soluzione che ti ha già fornito Quinzio manca l'unica soluzione reale dell'equazione proposta $iz^3 = \bar z $, che è $z = 0 $ (si verifica immediatamente).
Le altre $4$ soluzioni dell'equazione proposta sono date da $z_k = e^{i(- \pi/8 + (k\pi)/2)} $, $k = 0, 1, 2, 3 $ che sono i vertici di un quadrato avente semidiagonale $\rho = 1$.
Benvenuto sul forum!
Nella soluzione che ti ha già fornito Quinzio manca l'unica soluzione reale dell'equazione proposta $iz^3 = \bar z $, che è $z = 0 $ (si verifica immediatamente).
Le altre $4$ soluzioni dell'equazione proposta sono date da $z_k = e^{i(- \pi/8 + (k\pi)/2)} $, $k = 0, 1, 2, 3 $ che sono i vertici di un quadrato avente semidiagonale $\rho = 1$.
Grazie mille
Un altro modo.
Ovviamente, $z=0$ è soluzione; quindi basta cercare le soluzioni non nulle.
Passando subito ai moduli, trovi che il modulo soddisfa:
$|z|^3 = |z^*| \ =>\ |z|^3 = |z| \ => \ |z| = 1$.
Invece, moltiplicando per $z$ e dividendo per $i$ trovi:
$z^4 = -i |z|^2 \ =>\ z^4 = -i $,
quindi $z^4$ è immaginario puro con coefficiente negativo; dunque, $z$ ha argomento $-pi/8$ più multipli di $(2pi)/4 = pi/2$.
Le soluzioni non nulle sono: $z = e^(-pi/8 + k pi/2)$ con $k=0, 1,2,3$.
Ovviamente, $z=0$ è soluzione; quindi basta cercare le soluzioni non nulle.
Passando subito ai moduli, trovi che il modulo soddisfa:
$|z|^3 = |z^*| \ =>\ |z|^3 = |z| \ => \ |z| = 1$.
Invece, moltiplicando per $z$ e dividendo per $i$ trovi:
$z^4 = -i |z|^2 \ =>\ z^4 = -i $,
quindi $z^4$ è immaginario puro con coefficiente negativo; dunque, $z$ ha argomento $-pi/8$ più multipli di $(2pi)/4 = pi/2$.
Le soluzioni non nulle sono: $z = e^(-pi/8 + k pi/2)$ con $k=0, 1,2,3$.
Grazie mille anche a te
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