Equazione con i numeri complessi

[Aelle1994]

Salve, non riesco in nessun modo a risolvere questa equazione nel campo dei numeri complessi:
(z-2)^2*( ̅z+2) =4*z*(z-2) . Ho provato usando la posizione x+iy=z ma alla fine mi rimane un'equazione dove la parte immaginaria risulta nulla. Ho provato ad isolare il quadrato applicando la radice ma nulla. Potreste aiutarmi nella risoluzione di questa equazione.
Le soluzioni riportate dal testo sono z0= 2 e |z1-2|= 2*(2)^1/2.

P.S. nella seconda parentesi tonda si tratta del complesso coniugato e il meglio che sono riuscito a scrivere in termini di simboli; perdonate la mia ignoranza.

Saluti

[pilloeffe]

Ciao Aelle1994,

Se ho ben capito l'equazione complessa proposta è la seguente:

$(z-2)^2 (\bar{z}+2) = 4z(z-2) $

Quindi innanzitutto evidenzierei la soluzione reale $z_0 = 2$:

$(z-2)^2 (\bar{z}+2) - 4z(z-2) = 0 $

$(z-2) [(z - 2)(\bar{z}+2) - 4z] = 0 $

A questo punto resta da risolvere l'equazione seguente:

$ (z - 2)(\bar{z}+2) - 4z = 0$

$ (z - 2)(\bar{z}+2) = 4z $

$z\bar{z} + 2(z - \bar{z}) - 4 = 4z $

$|z|^2 + 4i \text{Im}(z) - 4 = 4z $

Posto $z = x + iy $, si ha:

$x^2 + y^2 + 4iy - 4 = 4x + 4iy $

$x^2 + y^2 - 4 = 4x $

$x^2 - 4x + y^2 - 4 = 0 $

Ora da qui non puoi dedurre che $y = 0 $ (infatti la parte immaginaria svanisce, $y$ può assumere qualsiasi valore reale che soddisfi la disequazione $\Delta >= 0 \iff - 2\sqrt2 <= y <= 2\sqrt2 $), anche se puoi trovare le soluzioni che si ottengono per $y = 0$ (cioè le soluzioni reali):

$x^2 - 4x - 4 = 0 $

$x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 4} = 2 \pm 2sqrt2 = 2(1 \pm \sqrt2) $

Quindi al momento abbiamo trovato 3 soluzioni reali dell'equazione proposta:

$z_0 = 2 $

$z_1 = x_1 + iy_1 = x_1 + i0 = 2(1 + \sqrt2) $

$z_2 = x_2 + iy_2 = x_2 + i0 = 2(1 - \sqrt2) $

Le altre soluzioni sono tali da soddisfare l'equazione vista poc'anzi:

$x^2 + y^2 - 4x - 4 = 0 $

Quest'ultima è l'equazione di una circonferenza di centro $C(2, 0)$ e raggio $r = \sqrt{(4/2)^2 + 4} = 2\sqrt2 $, che in $\CC $ si scrive proprio $| z - z_0 | = 2\sqrt2 $, cioè $| z - 2 | = 2\sqrt2 $

Naturalmente puoi trovare facilmente anche le due soluzioni immaginarie pure, infatti per $x = 0 $ dall'equazione scritta poco sopra si ottiene subito $y^2 - 4 = 0 \implies y_{3,4} = \pm 2 $, sicché le due soluzioni immaginarie pure sono le seguenti:

$z_3 = x_3 + iy_3 = 0 + 2i = 2i $

$z_4 = x_4 + iy_4 = 0 - 2i = - 2i $

Altre due soluzioni interessanti si ottengono per $x = 2 $, infatti in tal caso l'equazione diventa la seguente:

$2^2 + y^2 - 4\cdot 2 - 4 = 0 $

$y^2 - 8 = 0 \implies y_{5,6} = \pm 2 \sqrt2 $

Sicché altre due soluzioni interessanti sono le seguenti:

$ z_5 = x_5 + iy_5 = 2 + 2 i \sqrt2 = 2(1 + i \sqrt2)$

$ z_6 = x_6 + iy_6 = 2 - 2 i\sqrt2 = 2(1 - i \sqrt2) $

[Aelle1994]

Grazie mille sei stato gentilissimo e chiarissimo.

Saluti