Equazione con i numeri complessi
Salve, vorrei riportare lo svolgimento dell'equazione $[z+z^2]/[(|z|)^2-1]=1/2$ . Dopo aver posto la C.E. ho risolto $(z+z^2)=1/2$ trovando la soluzione $z = +- 1/2$ che è la risposta giusta. Ho dimenticato qualcosa o fatto qualcosa di sbagliato ?
Risposte
Non è corretto.. puoi elidere il denominatore con le condizioni di esistenza ma prima devi fare denominatore comune..
"mic999":
Non è corretto.. puoi elidere il denominatore con le condizioni di esistenza ma prima devi fare denominatore comune..
Ci ho provato, ma continuano ad uscire 3 soluzioni invece che 2. Riusciresti ad aiutarmi ?
Ciao davide.fede,
Temo di no...
Infatti, posto $z := x + iy \implies |z|^2 = x^2 + y^2 \ne 1 $, si ha:
$x + iy + x^2 + 2ixy - y^2 = 1/2 (x^2 + y^2 - 1) $
$1/2 x^2 - 3/2 y^2 + x + iy(1 + 2x) = - 1/2 $
perciò necessariamente deve essere $y(1 + 2x) = 0 \implies y = 0 vv 1 + 2x = 0 \implies x = -1/2 $
Per $y = 0 $ la condizione $ 1/2 x^2 - 3/2 y^2 + x = -1/2 $ diventa $ 1/2 x^2 + x = -1/2 \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x + 1)^2 = 0 \implies x = - 1 $ e questa soluzione non è accettabile perché in contrasto con la già citata condizione di esistenza $ x^2 + y^2 \ne 1 $
Dunque l'unica possibilità che rimane è $x = - 1/2 $, che sostituita nella condizione $1/2 x^2 - 3/2 y^2 + x = -1/2 $ fornisce l'equazione seguente:
$1/8 - 3/2 y^2 - 1/2 = -1/2 $
$1/8 - 3/2 y^2 = 0 $
$ 3/2 y^2 = 1/8 $
$ y^2 = 1/12 $
$ y_{1, 2} = \pm sqrt{1/12} = \pm frac{1}{2}\cdot frac{sqrt{3}}{3} $
Perciò in definitiva le due soluzioni dell'equazione complessa proposta sono le seguentI:
$z_1 = x_1 + iy_1 = - 1/2 + i frac{1}{2}\cdot frac{sqrt{3}}{3} = - 1/6 (3 - i sqrt{3}) $
$z_2 = x_2 + iy_2 = - 1/2 - i frac{1}{2}\cdot frac{sqrt{3}}{3} = - 1/6 (3 + i sqrt{3}) $
"davide.fede":
trovando la soluzione $z=\pm 1/2 $ che è la risposta giusta.
Temo di no...
Infatti, posto $z := x + iy \implies |z|^2 = x^2 + y^2 \ne 1 $, si ha:
$x + iy + x^2 + 2ixy - y^2 = 1/2 (x^2 + y^2 - 1) $
$1/2 x^2 - 3/2 y^2 + x + iy(1 + 2x) = - 1/2 $
perciò necessariamente deve essere $y(1 + 2x) = 0 \implies y = 0 vv 1 + 2x = 0 \implies x = -1/2 $
Per $y = 0 $ la condizione $ 1/2 x^2 - 3/2 y^2 + x = -1/2 $ diventa $ 1/2 x^2 + x = -1/2 \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x + 1)^2 = 0 \implies x = - 1 $ e questa soluzione non è accettabile perché in contrasto con la già citata condizione di esistenza $ x^2 + y^2 \ne 1 $
Dunque l'unica possibilità che rimane è $x = - 1/2 $, che sostituita nella condizione $1/2 x^2 - 3/2 y^2 + x = -1/2 $ fornisce l'equazione seguente:
$1/8 - 3/2 y^2 - 1/2 = -1/2 $
$1/8 - 3/2 y^2 = 0 $
$ 3/2 y^2 = 1/8 $
$ y^2 = 1/12 $
$ y_{1, 2} = \pm sqrt{1/12} = \pm frac{1}{2}\cdot frac{sqrt{3}}{3} $
Perciò in definitiva le due soluzioni dell'equazione complessa proposta sono le seguentI:
$z_1 = x_1 + iy_1 = - 1/2 + i frac{1}{2}\cdot frac{sqrt{3}}{3} = - 1/6 (3 - i sqrt{3}) $
$z_2 = x_2 + iy_2 = - 1/2 - i frac{1}{2}\cdot frac{sqrt{3}}{3} = - 1/6 (3 + i sqrt{3}) $
"pilloeffe":
Ciao davide.fede,
[quote="davide.fede"]trovando la soluzione $z=\pm 1/2 $ che è la risposta giusta.
Temo di no...
Infatti, posto $z := x + iy \implies |z|^2 = x^2 + y^2 \ne 1 $, si ha:
$x + iy + x^2 + 2ixy - y^2 = 1/2 (x^2 + y^2 - 1) $
$1/2 x^2 - 3/2 y^2 + x + iy(1 + 2x) = - 1/2 $
perciò necessariamente deve essere $y(1 + 2x) = 0 \implies y = 0 vv 1 + 2x = 0 \implies x = -1/2 $
Per $y = 0 $ la condizione $ 1/2 x^2 - 3/2 y^2 + x = -1/2 $ diventa $ 1/2 x^2 + x = -1/2 \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x + 1)^2 = 0 \implies x = - 1 $ e questa soluzione non è accettabile perché in contrasto con la già citata condizione di esistenza $ x^2 + y^2 \ne 1 $
Dunque l'unica possibilità che rimane è $x = - 1/2 $, che sostituita nella condizione $1/2 x^2 - 3/2 y^2 + x = -1/2 $ fornisce l'equazione seguente:
$1/8 - 3/2 y^2 - 1/2 = -1/2 $
$1/8 - 3/2 y^2 = 0 $
$ 3/2 y^2 = 1/8 $
$ y^2 = 1/12 $
$ y_{1, 2} = \pm sqrt{1/12} = \pm frac{1}{2}\cdot frac{sqrt{3}}{3} $
Perciò in definitiva le due soluzioni dell'equazione complessa proposta sono le seguentI:
$z_1 = x_1 + iy_1 = - 1/2 + i frac{1}{2}\cdot frac{sqrt{3}}{3} = - 1/6 (3 - i sqrt{3}) $
$z_2 = x_2 + iy_2 = - 1/2 - i frac{1}{2}\cdot frac{sqrt{3}}{3} = - 1/6 (3 + i sqrt{3}) $[/quote]
Grazie mille, sono riuscito a risolverlo ieri sera ma ero troppo stupido per ricordarmi che la prima soluzione non fosse conforme con la C.E. In ogni caso ho pubblicato un post su una "serie convergente con parametro" alla quale non ho ancora avuto una risposta utile, se ti va puoi aiutarmi
"davide.fede":
Grazie mille
Prego
Ti segnalo sommessamente che per rispondere ai post si usa il pulsante RISPONDI
in fondo al thread, non il pulsante CITA, altrimenti ottieni solamente il risultato di appesantire inutilmente il thread stesso...
Va bene, farò così d'ora in poi. Grazie ancora. Se potessi rispondere a quel post sulla serie lo troverai nei miei messaggi, l'ho pubblicato ieri. 
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