Equazione con i numeri complessi
Buongiorno,
Ieri ho svolto l'esame scritto di analisi 1 e avevo il seguente esercizio sui complessi. Considerando che non sono riuscita a svolgerlo vorrei rivederlo prima dell'orale potete darmi una mano?
$z^2+z(coniugato)^4=0$ e poi avevo a sistema che $Re(z)>a$
Io avevo pensato di sostituire $z$ e il suo coniugato con $sen$ e $cos$ ma ottengo un casino di conti che poi non mi fa piu' andare avanti, quindi credo che prima si debba semplificare in qualche modo ma non riesco a capire come. Potete darmi una mano?
Ieri ho svolto l'esame scritto di analisi 1 e avevo il seguente esercizio sui complessi. Considerando che non sono riuscita a svolgerlo vorrei rivederlo prima dell'orale potete darmi una mano?
$z^2+z(coniugato)^4=0$ e poi avevo a sistema che $Re(z)>a$
Io avevo pensato di sostituire $z$ e il suo coniugato con $sen$ e $cos$ ma ottengo un casino di conti che poi non mi fa piu' andare avanti, quindi credo che prima si debba semplificare in qualche modo ma non riesco a capire come. Potete darmi una mano?
Risposte
L'equazione è $z^2=-\overline (z)^4$, e uguagliando i moduli si vede immediatamente che $|z|=0$ (cioè $z=0$) oppure $|z|=1$: in quest'ultimo caso risulta $\overline (z)=1/z $, e ci si riconduce a un'equazione polinomiale facilmente risolvibile.
"spugna":
L'equazione è $z^2=-\overline (z)^4$, e uguagliando i moduli si vede immediatamente che $|z|=0$ (cioè $z=0$) oppure $|z|=1$: in quest'ultimo caso risulta $\overline (z)=1/z $, e ci si riconduce a un'equazione polinomiale facilmente risolvibile.
Ho sbagliato a scrivere un testo, sarebbe $4z^2=-\overline (z)^4$
allora io ho risolto cosi:
$(\overline (z)^4)/(z^2)=-1/4$ a questo punto ottengo facendo la radice $(\overline (z)^2)/z=±i/2$ quindi scrivendo $z=a+ib$
$(a-ib)^2$/$a+ib$=$±i/2$ quindi $(a-ib)^2$=$±i/2(a+ib)$
Facendo il quadrato ottengo $a^2-b^2-2iab=±(ai)/2∓b/2$
e quindi un sistema che contiene
$a^2-b^2=∓b/2$
$-2iab=±(ai)/2$
lo risolvo e alla fine ottengo $a=±(√5)/4$ e $b=∓1/4$
a questo punto come vado avanti? e soprattutto da dove viene fuori il tuo z=0?? potresti spiegarmelo meglio?
Ciao ludovica97,
Occhio che il tuo procedimento è errato già dal primo passaggio...
Assodato che $z = 0$ è senz'altro una soluzione, prova a considerare che
$z = x + iy $
$\bar{z} = x - iy $
$z\bar{z} = |z|^2 \implies bar{z} = frac{|z|^2}{z} \implies bar{z}^4 = frac{|z|^8}{z^4} $, $z \ne 0$
Dunque si ha:
$4z^6 = - |z|^8 \implies 4|z|^6 e^{6i\theta} = - |z|^8 \implies 4e^{6i\theta} = - |z|^2 = |z|^2 e^{i\pi}$
In definitiva $|z| = 2$ e $6\theta = \pi + 2k\pi \implies \theta = frac{\pi}{6} + kfrac{\pi}{3} $
$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
Nelle tre forme (esponenziale, trigonometrica e algebrica):
$z_0 = 2e^{i\pi/6} = 2(cos(\pi/6) + i sin(\pi/6)) = sqrt{3} + i$
$z_1 = 2e^{i\pi/2} = 2(cos(\pi/2) + i sin(\pi/2)) = 2i$
$z_2 = 2e^{i5\pi/6} = 2(cos(5\pi/6) + i sin(5\pi/6)) = - sqrt{3} + i$
$z_3 = 2e^{i7\pi/6} = 2(cos(7\pi/6) + i sin(7\pi/6)) = - sqrt{3} - i$
$z_4 = 2e^{i3\pi/2} = 2(cos(3\pi/2) + i sin(3\pi/2)) = - 2i$
$z_5 = 2e^{11\pi/6} = 2(cos(11\pi/6) + i sin(11\pi/6)) = sqrt{3} - i$
Notare che, fatta eccezione per la soluzione $z = 0$, le altre $6$ soluzioni rappresentano i vertici dell'esagono regolare di lato $2$ inscritto nella circonferenza di centro l'origine e raggio $2$.
Occhio che il tuo procedimento è errato già dal primo passaggio...
Assodato che $z = 0$ è senz'altro una soluzione, prova a considerare che
$z = x + iy $
$\bar{z} = x - iy $
$z\bar{z} = |z|^2 \implies bar{z} = frac{|z|^2}{z} \implies bar{z}^4 = frac{|z|^8}{z^4} $, $z \ne 0$
Dunque si ha:
$4z^6 = - |z|^8 \implies 4|z|^6 e^{6i\theta} = - |z|^8 \implies 4e^{6i\theta} = - |z|^2 = |z|^2 e^{i\pi}$
In definitiva $|z| = 2$ e $6\theta = \pi + 2k\pi \implies \theta = frac{\pi}{6} + kfrac{\pi}{3} $
$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
Nelle tre forme (esponenziale, trigonometrica e algebrica):
$z_0 = 2e^{i\pi/6} = 2(cos(\pi/6) + i sin(\pi/6)) = sqrt{3} + i$
$z_1 = 2e^{i\pi/2} = 2(cos(\pi/2) + i sin(\pi/2)) = 2i$
$z_2 = 2e^{i5\pi/6} = 2(cos(5\pi/6) + i sin(5\pi/6)) = - sqrt{3} + i$
$z_3 = 2e^{i7\pi/6} = 2(cos(7\pi/6) + i sin(7\pi/6)) = - sqrt{3} - i$
$z_4 = 2e^{i3\pi/2} = 2(cos(3\pi/2) + i sin(3\pi/2)) = - 2i$
$z_5 = 2e^{11\pi/6} = 2(cos(11\pi/6) + i sin(11\pi/6)) = sqrt{3} - i$
Notare che, fatta eccezione per la soluzione $z = 0$, le altre $6$ soluzioni rappresentano i vertici dell'esagono regolare di lato $2$ inscritto nella circonferenza di centro l'origine e raggio $2$.
"pilloeffe":
Ciao ludovica97,
Occhio che il tuo procedimento è errato già dal primo passaggio...
Assodato che $z = 0$ è senz'altro una soluzione, prova a considerare che
$z = x + iy $
$\bar{z} = x - iy $
$z\bar{z} = |z|^2 \implies bar{z} = frac{|z|^2}{z} \implies bar{z}^4 = frac{|z|^8}{z^4} $, $z \ne 0$
Dunque si ha:
$4z^6 = - |z|^8 \implies 4|z|^6 e^{6i\theta} = - |z|^8 \implies 4e^{6i\theta} = - |z|^2 = |z|^2 e^{i\pi}$
In definitiva $|z| = 2$ e $6\theta = \pi + 2k\pi \implies \theta = frac{\pi}{6} + kfrac{\pi}{3} $
$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
Nelle tre forme (esponenziale, trigonometrica e algebrica):
$z_0 = 2e^{i\pi/6} = 2(cos(\pi/6) + i sin(\pi/6)) = sqrt{3} + i$
$z_1 = 2e^{i\pi/2} = 2(cos(\pi/2) + i sin(\pi/2)) = 2i$
$z_2 = 2e^{i5\pi/6} = 2(cos(5\pi/6) + i sin(5\pi/6)) = - sqrt{3} + i$
$z_3 = 2e^{i7\pi/6} = 2(cos(7\pi/6) + i sin(7\pi/6)) = - sqrt{3} - i$
$z_4 = 2e^{i3\pi/2} = 2(cos(3\pi/2) + i sin(3\pi/2)) = - 2i$
$z_5 = 2e^{11\pi/6} = 2(cos(11\pi/6) + i sin(11\pi/6)) = sqrt{3} - i$
Notare che, fatta eccezione per la soluzione $z = 0$, le altre $6$ soluzioni rappresentano i vertici dell'esagono regolare di lato $2$ inscritto nella circonferenza di centro l'origine e raggio $2$.
mi e' tutto chiaro eccetto questa parte "|z|^2 e^{i\pi}$
In definitiva $|z| = 2$" come fai a dire questo????
"ludovica_97":
mi e' tutto chiaro eccetto questa parte "In definitiva $|z| = 2$ e $6\theta = \pi + 2k\pi \implies \theta = frac{\pi}{6} + kfrac{\pi}{3}$"
Concentrati sull'equazione finale:
$4e^{6i\theta} = |z|^2 e^{i\pi}$
Eguagliando i moduli dei due numeri complessi si ha $4 = |z|^2 \implies |z| = 2$;
eguagliando gli argomenti si trova l'altra relazione: $6\theta = \pi + 2k\pi \implies \theta = frac{\pi}{6} + kfrac{\pi}{3} $.
"pilloeffe":
[quote="ludovica_97"]mi e' tutto chiaro eccetto questa parte "In definitiva $|z| = 2$ e $6\theta = \pi + 2k\pi \implies \theta = frac{\pi}{6} + kfrac{\pi}{3}$"
Concentrati sull'equazione finale:
$4e^{6i\theta} = |z|^2 e^{i\pi}$
Eguagliando i moduli dei due numeri complessi si ha $4 = |z|^2 \implies |z| = 2$;
eguagliando gli argomenti si trova l'altra relazione: $6\theta = \pi + 2k\pi \implies \theta = frac{\pi}{6} + kfrac{\pi}{3} $.[/quote]
Tutto chiaro, un'ultima domanda... si vede chiaramente che z=0 e' una soluzione dell'equazione, il problema e' che quando io faccio la divisione per z all'inizio dovrei mettere la condizione d'esistenza che z sia diverso da zero. come me lo spiego che invece z=0 rimane ugualmente una soluzione?
Non c'entra... Che $z = 0$ sia una soluzione dell'equazione proposta lo si vede molto bene dall'equazione iniziale, come ti ha scritto correttamente anche spugna:
Poi per poter usare la relazione $bar{z} = frac{|z|^2}{z}$ occorre imporre che sia $z \ne 0$ . Chiaramente, se poi dalle successive operazioni dovessimo trovare una soluzione $z = 0$, questa sarebbe da escludere: ma non è questo il caso, dato che le altre $6$ soluzioni $z_k$, $(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5)$ che si trovano sfruttando la relazione $bar{z} = frac{|z|^2}{z}$ sono tutte diverse da $0$.
"spugna":
uguagliando i moduli si vede immediatamente che $|z| = 0$ (cioè $z = 0$)
Poi per poter usare la relazione $bar{z} = frac{|z|^2}{z}$ occorre imporre che sia $z \ne 0$ . Chiaramente, se poi dalle successive operazioni dovessimo trovare una soluzione $z = 0$, questa sarebbe da escludere: ma non è questo il caso, dato che le altre $6$ soluzioni $z_k$, $(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5)$ che si trovano sfruttando la relazione $bar{z} = frac{|z|^2}{z}$ sono tutte diverse da $0$.
"pilloeffe":
Non c'entra... Che $z = 0$ sia una soluzione dell'equazione proposta lo si vede molto bene dall'equazione iniziale, come ti ha scritto correttamente anche spugna:
Poi per poter usare la relazione $bar{z} = frac{|z|^2}{z}$ occorre imporre che sia $z \ne 0$ . Chiaramente, se poi dalle successive operazioni dovessimo trovare una soluzione $z = 0$, questa sarebbe da escludere: ma non è questo il caso, dato che le altre $6$ soluzioni $z_k$, $(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5)$ che si trovano sfruttando la relazione $bar{z} = frac{|z|^2}{z}$ sono tutte diverse da $0$.[/quote]
Grazie mille!
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