Equazione con i numeri complessi

[sine nomine1]

Giorno,
ho difficoltà con questo esercizio nel quale devo trovare le soluzioni dell'equazione:
$ z^2+5=4ibar(z) $
ho proceduto ponendo $ z=a+ib $ ottenendo:
$ (a+ib)^2+5=4i(a-ib) $
$ a^2+2aib-b^2+5=i4a+4b $
$ a^2+2aib-b^2+5-i4a-4b=0 $
$ a^2-b^2-4b+5+i(2ab-4a)=0 $

e visto che un numero complesso è uguale a zero solo se sia parte reale sia parte immaginaria sono uguali a zero devo risolvere questo sistema:
$ { (a^2-b^2-4b+5=0),( 2ab-4a=0 ):} $
potreste spiegarmi come si fa a procedere? Da quel che vedo credo che la prima equazione rappresenti un'iperbole, può essere d'aiuto?
Grazie in anticipo.

[Seneca1]

Premetto che non ho controllato i conti. Comunque, identificando \( z \sim (a,b) \in \mathbb{R}^2\), la prima equazione è quella di una iperbole mentre la seconda ti dà una coppia di rette (come luoghi di punti del piano).

[feddy]

E' un sistema non lineare di due equazioni in due incognite, la soluzione in questo caso bisogna "guadagnarsela" .
Ammesso che tu abbia svolto correttamente i conti fino al sistema: dalla seconda equazione raccogliendo il fattore $2a$ ricavi $a=0$ oppure $b=2$.

Per $a=0$ la prima diventa un'equzione di secondo grado in $b$ che porge le soluzioni $b=1, b=-5$.
Per $b=2$ sempre dalla prima troviamo $a=+-sqrt(7)$.

[sine nomine1]

Grazie per la risposta Seneca. Io tra le risposte possibili tra cui scegliere ho (con soggetto "le soluzioni dell'equazione"):
1) quattro, di cui due sull'asse reale
2) due, coniugate tra loro
3) quattro, di cui due sull'asse immaginario
4) due, e la loro somma vale 4i

Potresti spiegarmi a partire da quel sistema come arrivare alla risposta corretta? Grazie

[sine nomine1]

Grazie mille feddy, direi di aver capito!