Equazione con i numeri complessi
Salve, devo risolvere un'equazione del tipo:
$ z^4+1-i=0 $
Premetto che ho dato l'esame di Analisi 1 due anni fa, quindi non ricordo bene come si svolge un'equazione nel campo dei numeri complessi. Ho molta confusione nella testa, se non sbaglio bisogna ricavare $ rho $ e $ theta $ e poi usare la formula di De Moivre, vero?
Purtroppo non ricordo come, però...
$ z^4+1-i=0 $
Premetto che ho dato l'esame di Analisi 1 due anni fa, quindi non ricordo bene come si svolge un'equazione nel campo dei numeri complessi. Ho molta confusione nella testa, se non sbaglio bisogna ricavare $ rho $ e $ theta $ e poi usare la formula di De Moivre, vero?
Purtroppo non ricordo come, però...
Risposte
Considera il numero scritto:
$z^4=-1+i$ devi calcolarne modulo e fase, puoi farlo o con la forma trigonometrica, o quella esponenziale.
$|a+ib|=sqrt(a^2+b^2)$
$theta=arctan(b/a)$
calcolando la fase devi ricordare di tener conto in quale quadrante si trovi l'angolo.
$z^4=-1+i$ devi calcolarne modulo e fase, puoi farlo o con la forma trigonometrica, o quella esponenziale.
$|a+ib|=sqrt(a^2+b^2)$
$theta=arctan(b/a)$
calcolando la fase devi ricordare di tener conto in quale quadrante si trovi l'angolo.
Perfetto, dunque calcolo il modulo $ rho = sqrt2 $ e $ theta = 3/4pi $ (secondo quadrante). Ottenuti questi valori, come devo procedere?
De Moivre ...
(Continuando la risposta di axpgn)
considerando che $-1+i=sqrt2(cos((3pi)/4)+isin((3pi)/4))$
considerando che $-1+i=sqrt2(cos((3pi)/4)+isin((3pi)/4))$
Bene, dunque se la formula di De Moivre è:
$ w_k= root(n)(rho)[cos(theta/n+k(2pi)/n)+isen(theta/n+k(2pi)/n)] $ per $ k = 0, 1, ..., n-1 $
dovrei ottenere che le soluzioni corrispondono a:
$ w_1 = root(8)(2)[cos(3/16pi)+isen(3/16pi)] $ per k=0
$ w_2 = root(8)(2)[cos(11/16pi)+isen(11/16pi)] $ per k=1
$ w_3 = root(8)(2)[cos(19/16pi)+isen(19/16pi)] $ per k=2
$ w_4 = root(8)(2)[cos(27/16pi)+isen(27/16pi)] $ per k=3
Corretto?
$ w_k= root(n)(rho)[cos(theta/n+k(2pi)/n)+isen(theta/n+k(2pi)/n)] $ per $ k = 0, 1, ..., n-1 $
dovrei ottenere che le soluzioni corrispondono a:
$ w_1 = root(8)(2)[cos(3/16pi)+isen(3/16pi)] $ per k=0
$ w_2 = root(8)(2)[cos(11/16pi)+isen(11/16pi)] $ per k=1
$ w_3 = root(8)(2)[cos(19/16pi)+isen(19/16pi)] $ per k=2
$ w_4 = root(8)(2)[cos(27/16pi)+isen(27/16pi)] $ per k=3
Corretto?
Purtroppo non opero coi numeri complessi da diverso tempo e quindi sono un po' arruginito!
Chiedi e ti sarà dato.
Megalomane! 
"axpgn":
Megalomane!
Non ho specificato
"Fraccio":
Bene, dunque se la formula di De Moivre è:
$ w_k= root(n)(rho)[cos(theta/n+k(2pi)/n)+isen(theta/n+k(2pi)/n)] $ per $ k = 0, 1, ..., n-1 $
dovrei ottenere che le soluzioni corrispondono a:
$ w_1 = root(8)(2)[cos(3/16pi)+isen(3/16pi)] $ per k=0
$ w_2 = root(8)(2)[cos(11/16pi)+isen(11/16pi)] $ per k=1
$ w_3 = root(8)(2)[cos(19/16pi)+isen(19/16pi)] $ per k=2
$ w_4 = root(8)(2)[cos(27/16pi)+isen(27/16pi)] $ per k=3
Corretto?
Sono queste le soluzioni, giusto?
Yes. Sono i vertici di un quadrato inscritto in una circonferenza raggio $2^(1/8)$
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