Equazione con i numeri complessi
Salve a tutti!!
Sono nuova di qui..ma da subito voglio farvi i miei complimenti per il sito: ben fatto e di facile approccio..ce ne solo talmente tanti in giro che non è così facile!!
Detto questo, passiamo al mio piccolo problema.
Ho la seguente espressione con i numeri complessi:
$z^3$ = $|z|^2$ + $4$ con $z$ $in$ $C$
Ho provato a risolverla sostituendo al posto di z = a + ib ma ci sono delle soluzioni che non mi sembrano tradizionali...qualcuno di voi può aiutarmi???
Ringrazio fin da ora per la disponibilità.
Sono nuova di qui..ma da subito voglio farvi i miei complimenti per il sito: ben fatto e di facile approccio..ce ne solo talmente tanti in giro che non è così facile!!
Detto questo, passiamo al mio piccolo problema.
Ho la seguente espressione con i numeri complessi:
$z^3$ = $|z|^2$ + $4$ con $z$ $in$ $C$
Ho provato a risolverla sostituendo al posto di z = a + ib ma ci sono delle soluzioni che non mi sembrano tradizionali...qualcuno di voi può aiutarmi???
Ringrazio fin da ora per la disponibilità.
Risposte
Ciao. Personalmente proverei ad esprimere $z$ in forma esponenziale, dopo aver constatato che $z^3$ risulta essere reale positivo.
in che senso? potresti aiutarmi con una scrittura più pratica gentilmente....?!?
Conosci la possibilità di scrivere un numero complesso nella forma: $z=rho*e^(i phi)$ ?
Se no, in alternativa puoi usare la forma trigonometrica di $z$, ma in ogni caso va sfruttato il fatto il fatto che $z^3$ è reale positivo.
Se no, in alternativa puoi usare la forma trigonometrica di $z$, ma in ogni caso va sfruttato il fatto il fatto che $z^3$ è reale positivo.
naturalmente dico che $z^3$ è reale positivo perchè dall'altra parte dell'uguale ho per forza una quantità positiva, giusto?
ma in che modo poi questo mo viene in aiuto nella risoluzione dell'esercizio?
ma in che modo poi questo mo viene in aiuto nella risoluzione dell'esercizio?
confesso che anche io avrei difficoltà a ragionare sulla forma esponenziale (ma sicuramente è un mio limite)
in compenso,ho osservato che porre $z=a+ib$ porta ad un sistema per niente complesso(anche se stiamo parlando di numeri complessi
)
$ { ( b(3a^2-b^2)=0 ),( a^3-3ab^2-a^2-b^2-4=0 ):} $
la prima equazione ha come soluzioni o $b=0$ o $b^2=3a^2$
sostituendo nella seconda,
nel primo caso si ha l'equazione $a^3-a^2-4=0$ che ha come soluzione $a=2$
nel secondo si ha l'equazione $2a^3+a^2+1=0$ che ha come soluzione $a=-1$ ;in corrispondenza di tale soluzione si ha $b=+-sqrt3$
quindi,le 3 soluzioni dell'equazione di partenza sono
$2;-1+sqrt3i;-1-sqrt3i$
in compenso,ho osservato che porre $z=a+ib$ porta ad un sistema per niente complesso(anche se stiamo parlando di numeri complessi
)$ { ( b(3a^2-b^2)=0 ),( a^3-3ab^2-a^2-b^2-4=0 ):} $
la prima equazione ha come soluzioni o $b=0$ o $b^2=3a^2$
sostituendo nella seconda,
nel primo caso si ha l'equazione $a^3-a^2-4=0$ che ha come soluzione $a=2$
nel secondo si ha l'equazione $2a^3+a^2+1=0$ che ha come soluzione $a=-1$ ;in corrispondenza di tale soluzione si ha $b=+-sqrt3$
quindi,le 3 soluzioni dell'equazione di partenza sono
$2;-1+sqrt3i;-1-sqrt3i$
Ponendo: $z=rho*e^(i phi)$, l'equazione diventa:
_________________________________________$rho^3*e^(3i phi)=rho^2+4$ ;
il fatto che il secondo membro sia reale e positivo porta ad imporre che sia: $e^(3i phi)=1$, da cui: $3phi=2k pi$, che porge tre possibilità: $phi_1=0$,___$phi_2=2/3 pi$,___$phi_3=4/3 pi$.
L'equazione sul modulo $rho$ fornisce invece:__________$rho^3-rho^2-4=0$ ,
che ammette come unica soluzione reale e positiva: $rho=2$.
_________________________________________$rho^3*e^(3i phi)=rho^2+4$ ;
il fatto che il secondo membro sia reale e positivo porta ad imporre che sia: $e^(3i phi)=1$, da cui: $3phi=2k pi$, che porge tre possibilità: $phi_1=0$,___$phi_2=2/3 pi$,___$phi_3=4/3 pi$.
L'equazione sul modulo $rho$ fornisce invece:__________$rho^3-rho^2-4=0$ ,
che ammette come unica soluzione reale e positiva: $rho=2$.
in effetti così è molto più elegante 
Naturalmente a vederla così mi risulta più semplice la soluzione che mi ha dato stormy mi sembra più affine al mio metodo, ma quella di Palliit mi sembra molto più immediata....quindi cercherò di studiare anche questo altro metodo!!
Ma nell'eventualità, è indifferente utilizzare l'uno o l'altro? si giunge alle stesse conclusioni?
Grazie mille ad entrambi comunque per l'aiuto e la disponibilità.
Ma nell'eventualità, è indifferente utilizzare l'uno o l'altro? si giunge alle stesse conclusioni?
Grazie mille ad entrambi comunque per l'aiuto e la disponibilità.
"bi8":
Ma nell'eventualità, è indifferente utilizzare l'uno o l'altro? si giunge alle stesse conclusioni?
claro que sì
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