Equazione con arcotangenti:

[Ster24]

Salve forum,

ho la seguente equazione, in cui mi si chiede di ricavare la x:

$arctan(-10x)+arctan(-15x)+arctan(-20x)+arctan(x)+arctan(2x)=-90$

ho provato ad applicare al primo ed al secondo membro la funzione inversa della tangente, ma mi ritrovo con un qualcosa di impossibile. Avete qualche input da consigliarmi?

Vi ringrazio anticipatamente per la disponibilità.

[gugo82]

Beh, dato che $-pi/2 <= arctan y<= pi/2$, detta $f$ la funzione al primo membro, hai:
\[
f(x)\geq -\frac{5\pi}{2} > -90\; .
\]
Dunque l'equazione non ha soluzioni.

[Ster24]

Ho fatto lo stesso ragionamento, ma secondo l'esercizio dovrebbe venire 0.044.

[spugna2]

Ma $-90$ sarebbe $- pi/2$?

[Ster24]

Sono -90 gradi

[spugna2]

Allora immagino che anche le arcotangenti siano espresse in gradi (e che quindi assumano valori tra $-90$ e $90$), e stando così le cose ci sarebbe una soluzione...

[Ster24]

E come la ricavo? non riesco. Riesci a darmi un input?

[spugna2]

Porta un po' di termini al secondo membro e calcola le tangenti...

$arctan(10x)+arctan(15x)+arctan(20x)=90°+arctan(x)+arctan(2x)$

$(10x+15x+20x-10x*15x*20x)/(1-10x*15x-10x*20x-15x*20x)=-1/((x+2x)/(1-x*2x))$

$(45x-3000x^3)/(1-650x^2)=(2x^2-1)/(3x)$

$7700x^4+517x^2-1=0 \Rightarrow x=+-1/10 sqrt((-47+3sqrt(3011/11))/14)$

Adesso però non abbiamo ancora finito perché $tan alpha=tan beta $ non implica $alpha=beta$, ma solo $alpha=beta+k*180°$, dove $k $ è un intero, e infatti guardando i segni dei due membri si vede che la soluzione negativa non è accettabile, mentre con qualche stima si può verificare che quella positiva va bene.