Equazione complessa: $z|z|-2z+i=0$
$z|z|-2z+i=0 => z(|z|-2)+i=0 => z=(-i)/(|z|-2) =>z=1/(i(|z|-2)) $ arrivato qui mi blocco...
Dovrebbe venire $z_1=i$, $z_2=-i(1+sqrt(2))$
Cosa sbaglio?
Dovrebbe venire $z_1=i$, $z_2=-i(1+sqrt(2))$
Cosa sbaglio?
Risposte
Dobbiamo risolvere l'equazione $z |z| -2 z +i=0$ all'interno dei numeri complessi.
Per prima cosa notiamo che, se ci sono soluzioni,
vanno cercate all'interno dei numeri immaginari puri (cioè numeri complessi del tipo $z= a i$, con $a in RR$).
Infatti l'equazione iniziale diventa $z = - 1/(|z|-2) i $, e la quantità $- 1/(|z|-2)$ è un numero reale.
Quindi scriviamo $a i$ al posto di $z$. Si ottiene $ai * |a i | -2 ai +i=0$,
da cui $ai *|a|-2ai+i=0=> i *(a|a|-2a+1)=0 => a|a|-2a+1=0$.
Se $a>=0$ si ha $a^2-2a+1=0 =>...$
Se $a<0 $ si ha $-a^2 -2a+1=0 => ...$
Per prima cosa notiamo che, se ci sono soluzioni,
vanno cercate all'interno dei numeri immaginari puri (cioè numeri complessi del tipo $z= a i$, con $a in RR$).
Infatti l'equazione iniziale diventa $z = - 1/(|z|-2) i $, e la quantità $- 1/(|z|-2)$ è un numero reale.
Quindi scriviamo $a i$ al posto di $z$. Si ottiene $ai * |a i | -2 ai +i=0$,
da cui $ai *|a|-2ai+i=0=> i *(a|a|-2a+1)=0 => a|a|-2a+1=0$.
Se $a>=0$ si ha $a^2-2a+1=0 =>...$
Se $a<0 $ si ha $-a^2 -2a+1=0 => ...$
Ti ringrazio. Tutto molto chiaro, ma ho ancora un dubbio.
Quando siamo nel caso $ a<0 $:
$ -a^2 -2a+1=0 => a^2 +2a-1=0 => a_(1,2)= -1+-sqrt(1+1)=-1+-sqrt(2) $ perché bisogna prendere solamente la soluzione negativa $a= -1-sqrt(2)$?
Quando siamo nel caso $ a<0 $:
$ -a^2 -2a+1=0 => a^2 +2a-1=0 => a_(1,2)= -1+-sqrt(1+1)=-1+-sqrt(2) $ perché bisogna prendere solamente la soluzione negativa $a= -1-sqrt(2)$?
Perché altrimenti $a$ non é più negativo, contraddicendo l'ipotesi ...
Grazie
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