Equazione complessa. Verificare..
CIao a tutti, controllatemi e ditemi per favore se ho risolto questo esercizio correttamente.Perchè ho dei dubbi. Per favore. Grazie in anticipo.
Scrivere in forma algebrica le soluzioni dell'equazione $ ( 1-i ) / ( ( 1+i )z^4 )=i^8 bar(z) $
ho riscritto tutto in forma esponenziale
$1-i \rightarrow sqrt(2) exp (i(-pi/4))$
$(1+i)z^4 \rightarrow sqrt(2) exp (i(pi/4)) \cdot rho^4 exp (i(4\theta))\rightarrow sqrt(2)rho^4 exp (i(pi/4 + 4\theta))$
$i^8 bar(z)=exp (i(8\cdot pi/2)) \cdot rho exp (i(-\theta))=rho \cdot exp (i(pi/4-\theta))$
mettendo insieme il tutto si ottiene
$(sqrt(2) exp (i(-pi/4)))/(sqrt(2)rho^4 exp (i(pi/4 + 4\theta)))=rho \cdot exp (i(pi/4-\theta))\rightarrow exp(i(-pi/2-4\theta))=rho^5 exp (i(pi/4-\theta))$
ora eguaglio i moduli $rho^5=1\rightarrow rho=1$
ora eguaglio gli argomenti
$-\pi/2-4\theta=\pi/4-\theta+2kpi\rightarrow -3theta=3/4pi + 2kpi\rightarrow \theta=-(3/4pi+2kpi)/3$ con $k=0,1,2$
ora va bé manca solamente di calcolare gli angoli e scrivi in forma algebrica. Però la risoluzione è esatta?
Ditemi se è esatta, oppure se ci sono degli errori scrivete.
Grazie in anticipo!
Scrivere in forma algebrica le soluzioni dell'equazione $ ( 1-i ) / ( ( 1+i )z^4 )=i^8 bar(z) $
ho riscritto tutto in forma esponenziale
$1-i \rightarrow sqrt(2) exp (i(-pi/4))$
$(1+i)z^4 \rightarrow sqrt(2) exp (i(pi/4)) \cdot rho^4 exp (i(4\theta))\rightarrow sqrt(2)rho^4 exp (i(pi/4 + 4\theta))$
$i^8 bar(z)=exp (i(8\cdot pi/2)) \cdot rho exp (i(-\theta))=rho \cdot exp (i(pi/4-\theta))$
mettendo insieme il tutto si ottiene
$(sqrt(2) exp (i(-pi/4)))/(sqrt(2)rho^4 exp (i(pi/4 + 4\theta)))=rho \cdot exp (i(pi/4-\theta))\rightarrow exp(i(-pi/2-4\theta))=rho^5 exp (i(pi/4-\theta))$
ora eguaglio i moduli $rho^5=1\rightarrow rho=1$
ora eguaglio gli argomenti
$-\pi/2-4\theta=\pi/4-\theta+2kpi\rightarrow -3theta=3/4pi + 2kpi\rightarrow \theta=-(3/4pi+2kpi)/3$ con $k=0,1,2$
ora va bé manca solamente di calcolare gli angoli e scrivi in forma algebrica. Però la risoluzione è esatta?
Ditemi se è esatta, oppure se ci sono degli errori scrivete.
Grazie in anticipo!
Risposte
Mi pare (a occhio) che ci sia qualcosa fuori posto. Intanto prima di passare alla forma esponenziale avrei semplificato un po' di termini; per esempio:
$i^8=(-1)^4=1$ ; poi: [tex]\frac{1-i}{1+i}=\frac{1-i}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{(1-i)^2}{2}=-i[/tex] col che l'equazione diventa un po' più snella:
[tex]-i=\overline{z}\cdot z^4[/tex] ;
adesso se metti in forma esponenziale, con [tex]z=\varrho \cdot e^{i\vartheta }[/tex] hai:
[tex]e^{\frac{3}{2}i\pi }=\varrho \cdot e^{-i\vartheta }\cdot \varrho ^4\cdot e^{4i\vartheta }\Rightarrow \varrho ^5\cdot e^{3i\vartheta }=e^{\frac{3}{2}i\pi }[/tex],
da cui mi pare che le conclusioni si raggiungano più in fretta.
A me risultano [tex]z_{1}=i[/tex] , [tex]z_{2,3}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}[/tex] , salvo errori. Ciao
$i^8=(-1)^4=1$ ; poi: [tex]\frac{1-i}{1+i}=\frac{1-i}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{(1-i)^2}{2}=-i[/tex] col che l'equazione diventa un po' più snella:
[tex]-i=\overline{z}\cdot z^4[/tex] ;
adesso se metti in forma esponenziale, con [tex]z=\varrho \cdot e^{i\vartheta }[/tex] hai:
[tex]e^{\frac{3}{2}i\pi }=\varrho \cdot e^{-i\vartheta }\cdot \varrho ^4\cdot e^{4i\vartheta }\Rightarrow \varrho ^5\cdot e^{3i\vartheta }=e^{\frac{3}{2}i\pi }[/tex],
da cui mi pare che le conclusioni si raggiungano più in fretta.
A me risultano [tex]z_{1}=i[/tex] , [tex]z_{2,3}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}[/tex] , salvo errori. Ciao
"Palliit":
Mi pare (a occhio) che ci sia qualcosa fuori posto. Intanto prima di passare alla forma esponenziale avrei semplificato un po' di termini; per esempio:
$i^8=(-1)^4=1$ ; poi: [tex]\frac{1-i}{1+i}=\frac{1-i}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{(1-i)^2}{2}=-i[/tex] col che l'equazione diventa un po' più snella:
[tex]-i=\overline{z}\cdot z^4[/tex] ;
adesso se metti in forma esponenziale, con [tex]z=\varrho \cdot e^{i\vartheta }[/tex] hai:
[tex]e^{\frac{3}{2}i\pi }=\varrho \cdot e^{-i\vartheta }\cdot \varrho ^4\cdot e^{4i\vartheta }\Rightarrow \varrho ^5\cdot e^{3i\vartheta }=e^{\frac{3}{2}i\pi }[/tex],
da cui mi pare che le conclusioni si raggiungano più in fretta.
A me risultano [tex]z_{1}=i[/tex] , [tex]z_{2,3}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}[/tex] , salvo errori. Ciao
sì pensandoci è più giusta la tua soluzione! **** non ho tolto il denominatore ed ho combinato un disastro!.. di questo me lo ricorderò!
Grazie comunque!
Prego, figurati. Ciao
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