Equazione complessa secondo grado
Devo risolvere questa equazione:
$(z^6 +2 +3i)(z^2 +(2+isqrt(2)+3i)z+3(2i-sqrt(2)))=0$
Risolvo la prima parentesi:
$z^6+2+3i=0 -> z^6 = sqrt(13)e^(i\theta) \ con\ theta = arctan (3/2) + \pi -> z_k = 13^(1/12) e^(i (\theta +2k\pi)/6)$
La seconda parte so che dovrebbe risolversi con la regola:
$ax^2+Sx + P = 0$ cioè con la somma ed il prodotto delle due radici... Però non riesco a tirare fuori il risultato tipo wolfram alpha che è:
$(z+3i)(z+isqrt(2)+2)=0$ che corrisponde alla seconda parentesi dell'equazione di partenza...
Io ho provato ad arrivarci ma non ci arrivo...
$(z^6 +2 +3i)(z^2 +(2+isqrt(2)+3i)z+3(2i-sqrt(2)))=0$
Risolvo la prima parentesi:
$z^6+2+3i=0 -> z^6 = sqrt(13)e^(i\theta) \ con\ theta = arctan (3/2) + \pi -> z_k = 13^(1/12) e^(i (\theta +2k\pi)/6)$
La seconda parte so che dovrebbe risolversi con la regola:
$ax^2+Sx + P = 0$ cioè con la somma ed il prodotto delle due radici... Però non riesco a tirare fuori il risultato tipo wolfram alpha che è:
$(z+3i)(z+isqrt(2)+2)=0$ che corrisponde alla seconda parentesi dell'equazione di partenza...
Io ho provato ad arrivarci ma non ci arrivo...
Risposte
Bhè poco male:
$az^2+bz+c => z_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
$a=1$
$b=2+isqrt(2)+3i => b^2=(2+isqrt(2)+3i)^2$
$c=6i-3sqrt(2)$
$z_(1,2)=([-2-isqrt(2)-3i]+-sqrt((2+isqrt(2)+3i)^2-24i+12sqrt(2)))/2=$
$text{ }=([-2-isqrt(2)-3i]+-sqrt(-7+6 sqrt(2)+i (-12+4 sqrt(2))))/2$
Poni $w^2=Delta$ quindi: (provaci prima te poi guarda la soluzione
)
$az^2+bz+c => z_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
$a=1$
$b=2+isqrt(2)+3i => b^2=(2+isqrt(2)+3i)^2$
$c=6i-3sqrt(2)$
$z_(1,2)=([-2-isqrt(2)-3i]+-sqrt((2+isqrt(2)+3i)^2-24i+12sqrt(2)))/2=$
$text{ }=([-2-isqrt(2)-3i]+-sqrt(-7+6 sqrt(2)+i (-12+4 sqrt(2))))/2$
Poni $w^2=Delta$ quindi: (provaci prima te poi guarda la soluzione
)
Io non ho capito la tua sostituzione... E non riesco ad arrivare al tuo $\rho$ in forma così semplice... A me viene $3sqrt(33-20sqrt(2))$ che è numericamente uguale, ma si presenta meno gestibile perchè poi dal $-b$ mi esce appunto quel $sqrt(15-6sqrt(2))$...
"Mito125":
Io non ho capito la tua sostituzione.
Intendi $w^2=Delta$?
"Mito125":
$3sqrt(33-20sqrt(2))$ che è numericamente uguale, ma si presenta meno gestibile ...
$3sqrt(33-20sqrt(2))->3sqrt(33-sqrt(800))->3*(sqrt((33+17)/2)-sqrt((33-17)/2))->3*((sqrt(50)-4)/sqrt(2))->3sqrt(2)(5sqrt(2)-4)/2$
$->(15*2-12sqrt(2))/2->15-6sqrt(2)$
Questo era il tuo dubbio?
Ok, penso di aver ragionato sulla sostituzione, io non faccio quella sostituzione, semplicemente risolvo la radice rappresentando il complesso in forma esponenziale...
Solo che adesso mi rimane ancora da capire come espandere il risultato finale per avere i 2 valori di z... Ho provato ad esprimere z come seni e coseni, e poi usando le formule di addizione ma non arrivo al risultato... Lo stesso se uso gli esponenziali, arrivo alla somma di due esponenziali, ma non alla soluzione...
Solo che adesso mi rimane ancora da capire come espandere il risultato finale per avere i 2 valori di z... Ho provato ad esprimere z come seni e coseni, e poi usando le formule di addizione ma non arrivo al risultato... Lo stesso se uso gli esponenziali, arrivo alla somma di due esponenziali, ma non alla soluzione...
Espandere tutto è un po' un lavoraccio.
I-Sfrutti le formule di Eulero portando il numero complesso in forma trigonometrica.
II-Usi le formule di bisezione per il seno ed il coseno.
III-Semplifichi le scritture $cos(atan(k))$ e $sin(atan(k))$.
I-Sfrutti le formule di Eulero portando il numero complesso in forma trigonometrica.
II-Usi le formule di bisezione per il seno ed il coseno.
III-Semplifichi le scritture $cos(atan(k))$ e $sin(atan(k))$.
"lordb":
Bhè poco male:
$az^2+bz+c => z_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
$a=1$
una cosa, quando si hanno a che fare con equazioni complesse di questo tipo $az^2+bz+c=0$, le 2 soluzioni sono date dalla formula
\[\displaystyle z_{1,2}=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Al numeratore è scritto $-b+\sqrt(\Delta)$ e NON $-b\pm \sqrt(\Delta)$, perchè essendo ambientata in $\mathbb{C}$, il simbolo di radice contiene già 2 valori.
Si non è un problema, se tu vedi io prendo solo una soluzione dell'equazione complessa e scrivo:
$z_(1,2)=(-b+-w_0)/(2a)$
che è equivalente a scrivere:
$z_1=(-b-w_0)/(2a)$
$z_2=(-b+w_1)/(2a)$
$z_(1,2)=(-b+-w_0)/(2a)$
che è equivalente a scrivere:
$z_1=(-b-w_0)/(2a)$
$z_2=(-b+w_1)/(2a)$
"21zuclo":
una cosa, quando si hanno a che fare con equazioni complesse di questo tipo $az^2+bz+c=0$, le 2 soluzioni sono date dalla formula
\[\displaystyle z_{1,2}=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Al numeratore è scritto $-b+\sqrt(\Delta)$ e NON $-b\pm \sqrt(\Delta)$, perchè essendo ambientata in $\mathbb{C}$, il simbolo di radice contiene già 2 valori.
Non è un problema, avevo chiesto tempo fa in un altro 3d:
equazioni-complesse-secondo-grado-con-c-diverso-da-zero-t101143.html#p669140
Potrebbe esserci un altro modo di trovare le soluzioni??? In modo più semplice???
Magari un sistema con i prodotti, le somme, i quadrati delle due radici??? Perchè così mi sembra eccessivamente complicato e direi quasi impossibile da risolvere ad un esame...
Bhè sei sicuro che non sia sufficiente arrivare alla scrittura con l'arcotangente ?
Non sono mai sicuro di niente 
Preferivo svilupparlo, perchè oltre a rappresentare due complessi semplici, io di solito sviluppo sempre gli esponenziali complessi in tutte le forme per essere sicuro di rappresentare almeno una forma preferita dal prof...
Preferivo svilupparlo, perchè oltre a rappresentare due complessi semplici, io di solito sviluppo sempre gli esponenziali complessi in tutte le forme per essere sicuro di rappresentare almeno una forma preferita dal prof...
Comunque potevi fare:
${(-z_1-z_2=2+isqrt(2)+3i),(-z_1*-z_2=3(2i-sqrt(2))):}$
${(-z_1-z_2=2+isqrt(2)+3i),(-z_1*-z_2=3(2i-sqrt(2))):}$
Questo sistema ho provato a risolverlo e non ci sono riuscito... E' comunque come l'ho fatto io, salvo i segni della seconda equazione, ma non mi torna mai niente...
${(-z_1-z_2=2+isqrt(2)+3i),(z_1*z_2=3(2i-sqrt(2))):}$
$z_2!=0 => z_1=3(2i-sqrt(2))/(z_2)$
Sostituendo nella prima ottieni:
$-3(2i-sqrt(2))/(z_2)-z_2=2+isqrt(2)+3i$
$-3(2i-sqrt(2))-z_2^2=(2+isqrt(2)+3i)z_2$
$z_2^2+(2+isqrt(2)+3i)z_2+3(2i-sqrt(2))=0$
Vai avanti te.....
$z_2!=0 => z_1=3(2i-sqrt(2))/(z_2)$
Sostituendo nella prima ottieni:
$-3(2i-sqrt(2))/(z_2)-z_2=2+isqrt(2)+3i$
$-3(2i-sqrt(2))-z_2^2=(2+isqrt(2)+3i)z_2$
$z_2^2+(2+isqrt(2)+3i)z_2+3(2i-sqrt(2))=0$
Vai avanti te.....
Quest'ultima equazione è identica alla prima solo con incognita diversa... E mi viene un dubbio... Io cerco due soluzioni... Risolvendo queste non troverei 4 soluzioni??? Ecco perchè non capisco...
Ahah scusa che sbadato, no niente da fare devi risorverla 
In realtà quel sistema ti dà le soluzioni che cerchi ma te sembrano il doppio, ragiona su questo:
$x^2+5x+6=0$
Con la formula ottieni che le soluzioni sono: $x_1=-2$ e $x_2=-3$
Ragionando con il metodo "somma e prodotto" tu vuoi due numeri $X_1,X_2$ tali che:
$X_1+X_2=5$ e $X_1*X_2=6$ si ha come soluzione:
$X_1=2 ^^ X_2=3$ $vv$ $X_1=3 ^^ X_2=2$
Quindi:
$x_1=-2 ^^x_2=-3$ $vv$ $x_1=-3 ^^ x_2=-2$
Ma ti rendi immediatamente conto che le soluzioni sono $-2 e -3$ quindi solo $2$!
In realtà quel sistema ti dà le soluzioni che cerchi ma te sembrano il doppio, ragiona su questo:
$x^2+5x+6=0$
Con la formula ottieni che le soluzioni sono: $x_1=-2$ e $x_2=-3$
Ragionando con il metodo "somma e prodotto" tu vuoi due numeri $X_1,X_2$ tali che:
$X_1+X_2=5$ e $X_1*X_2=6$ si ha come soluzione:
$X_1=2 ^^ X_2=3$ $vv$ $X_1=3 ^^ X_2=2$
Quindi:
$x_1=-2 ^^x_2=-3$ $vv$ $x_1=-3 ^^ x_2=-2$
Ma ti rendi immediatamente conto che le soluzioni sono $-2 e -3$ quindi solo $2$!
Lo lascio aperto così vedo se qualcuno ha una soluzione più semplice al problema...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo