Equazione complessa (in tutti i sensi)
Ciao a tutti,
avrei una domanda quasi "filosofica"...
Perchè mai l'equazione
$z^i=4$ con z complesso e i unità immaginaria, dovrebbe ammettere infinite soluzioni?
E in particolare, perchè le soluzioni dovrebbero essere del tipo:
$e^(2*pi*k)*e^(-i*log4)$ con k =0,-1,1,-2,2... ?
Non riesco a comprendere il significato dell'equazione.
Grazie.
Saturn V
avrei una domanda quasi "filosofica"...
Perchè mai l'equazione
$z^i=4$ con z complesso e i unità immaginaria, dovrebbe ammettere infinite soluzioni?
E in particolare, perchè le soluzioni dovrebbero essere del tipo:
$e^(2*pi*k)*e^(-i*log4)$ con k =0,-1,1,-2,2... ?
Non riesco a comprendere il significato dell'equazione.
Grazie.
Saturn V
Risposte
Questo succede perchè la funzione potenza ad esponente complesso (tipo appunto $z^i$) è definita per mezzo dell'esponenziale e del logaritmo: $z^i:=e^(i*logz)$.
Visto che il logaritmo è una funzione polidroma con infinite determinazioni, lo stesso accade per la potenza quando l'esponente non è intero o razionale.
Anzi, tenendo presente che $log z=Logz +2kpi*i$, con $k\in ZZ$ (qui $Logz$ è la determinazione principale di $log z$), trovi:
$z^i=e^(iLog z)*e^(2kpi*i^2)=e^(i*Logz)*e^(-2kpi)=[1/e^(2pi)]^k*e^(i*Logz)$
cosicchè i valori assunti da $z^i$ costituiscono una progressione geometrica di ragione $1/e^(2pi)$.
L'esistenza di infinite radici, invece, è "colpa" della periodicità della funzione esponenziale complessa, come si vede di seguito.
Per risolvere l'equazione $4=z^i$ puoi procedere come segue: innanzitutto scrivi $4=e^(ln4)=e^(i*Logz)$ (qui $ln4$ è il logaritmo reale di base $e$), da cui tenendo presente la periodicità dell'esponenziale complesso ricavi:
$i*Logz =ln 4 +2kpi*i => Logz=-i*ln4+2hpi \quad$ (ho mutato $-k$ in $h$, tanto $k \in ZZ$)
da cui $z=e^(-i*ln4)*e^(2hpi) \quad$ con $h in ZZ$.
Visto che il logaritmo è una funzione polidroma con infinite determinazioni, lo stesso accade per la potenza quando l'esponente non è intero o razionale.
Anzi, tenendo presente che $log z=Logz +2kpi*i$, con $k\in ZZ$ (qui $Logz$ è la determinazione principale di $log z$), trovi:
$z^i=e^(iLog z)*e^(2kpi*i^2)=e^(i*Logz)*e^(-2kpi)=[1/e^(2pi)]^k*e^(i*Logz)$
cosicchè i valori assunti da $z^i$ costituiscono una progressione geometrica di ragione $1/e^(2pi)$.
L'esistenza di infinite radici, invece, è "colpa" della periodicità della funzione esponenziale complessa, come si vede di seguito.
Per risolvere l'equazione $4=z^i$ puoi procedere come segue: innanzitutto scrivi $4=e^(ln4)=e^(i*Logz)$ (qui $ln4$ è il logaritmo reale di base $e$), da cui tenendo presente la periodicità dell'esponenziale complesso ricavi:
$i*Logz =ln 4 +2kpi*i => Logz=-i*ln4+2hpi \quad$ (ho mutato $-k$ in $h$, tanto $k \in ZZ$)
da cui $z=e^(-i*ln4)*e^(2hpi) \quad$ con $h in ZZ$.
Grazie!!!
Ottima spiegazione!
Saturn V
Ottima spiegazione!
Saturn V
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