Equazione complessa (immagino semplice)
Salve a tutti, spero di essere nella sezione giusta.
premetto che sono un po' arrugginito con la gestione dei numeri complessi. Aiutando un amico mi sono imbattuto in questa equazione in cui si devono determinare le $ z\in \mathbb{C} $ che soddisfano la seguente equazione
$ z^3 i|z|=(bar(z))^2e^(3i) $
Potete aiutarmi?
grazie in anticipo e buona pasqua
premetto che sono un po' arrugginito con la gestione dei numeri complessi. Aiutando un amico mi sono imbattuto in questa equazione in cui si devono determinare le $ z\in \mathbb{C} $ che soddisfano la seguente equazione
$ z^3 i|z|=(bar(z))^2e^(3i) $
Potete aiutarmi?
grazie in anticipo e buona pasqua
Risposte
Ho spostato in analisi di base. Prova a usare la forma esponenziale di $z$.
Vi è qualcosa che non mi è chiaro nell'equazione
la forma esponenziale dei numeri complessi è $ z=\rho e^(i\theta) $
che sarebbe $ \rho e^(i\theta)=\rho (cos\theta +i \sin\theta) $
qui invece al secondo membro abbiamo già un'esponenziale ed è $ e^(3i) $
Mi sfugge qualcosa?..
in forma esponenziale l'equazione diventa
$ \rho^3 exp(3i\theta) i\rho=\rho exp(-2i\theta) exp(3i) $
che poi rimane $ \rho^3 exp(3i\theta) i =exp(-2i\theta+3i) $
la forma esponenziale dei numeri complessi è $ z=\rho e^(i\theta) $
che sarebbe $ \rho e^(i\theta)=\rho (cos\theta +i \sin\theta) $
qui invece al secondo membro abbiamo già un'esponenziale ed è $ e^(3i) $
Mi sfugge qualcosa?..
in forma esponenziale l'equazione diventa
$ \rho^3 exp(3i\theta) i\rho=\rho exp(-2i\theta) exp(3i) $
che poi rimane $ \rho^3 exp(3i\theta) i =exp(-2i\theta+3i) $
Ciao sim_o,
Benvenuto sul forum!
Comincerei con l'osservare che $z = 0 $ è certamente una soluzione dell'equazione proposta. Poi sfrutterei il fatto che $z \bar z = |z|^2 $; infine scriverei tutto in forma esponenziale come suggerito da Luca.Lussardi. Tutto include anche $i = e^{i \pi/2} $
Non risultano comunque numeri "comodi"...
Benvenuto sul forum!
Comincerei con l'osservare che $z = 0 $ è certamente una soluzione dell'equazione proposta. Poi sfrutterei il fatto che $z \bar z = |z|^2 $; infine scriverei tutto in forma esponenziale come suggerito da Luca.Lussardi. Tutto include anche $i = e^{i \pi/2} $
Non risultano comunque numeri "comodi"...
Ma anche senza troppi indugi, scrivendo tutto in forma esponenziale l’equazione diventa:
\[
\rho^4\ e^{(3 \theta + \frac{\pi}{2} ) i} = \rho^2\ e^{(3 - 2 \theta) i}
\]
che è di semplice soluzione.
\[
\rho^4\ e^{(3 \theta + \frac{\pi}{2} ) i} = \rho^2\ e^{(3 - 2 \theta) i}
\]
che è di semplice soluzione.
"gugo82":
Ma anche senza troppi indugi, scrivendo tutto in forma esponenziale l’equazione diventa:
\[ \rho^4\ e^{(3 \theta + \frac{\pi}{2} ) i} = \rho^2\ e^{(3 - 2 \theta) i} \]
che è di semplice soluzione.
serve anche a me per esercizio, così ripasso
quindi si ha
$ \rho^4=\rho^2\to \rho^4-\rho^2=0\to \rho^2(\rho^2-1)=0 \to rho=0\vee \rho=\pm 1 $
mentre per gli esponenziali $ exp((3\theta+\pi/2)i)=\exp((3-2\theta)i) $
$(3\theta+\pi/2)i=(3-2\theta)i$
però poi non saprei come andare avanti..
Quei termini esponenziali sono uguali se e solo se i coefficienti di $i$ differiscono per un multiplo intero di $2pi$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo