Equazione complessa formula esponenziale

[PallinaMom89]

Il mio prof. durante una lezione per risolvere $z^2|z|^2=i$ applica la sostituzione $ro^4e^(2iteta)=i $
Una volta fatta questa sostituzione so continare e risolverla, ma non riesco a capire perchè l'esponente alla 4° e poi 2iteta, non capisco l'impostazione!
Grazie!

[pater46]

Ti sei mangiato un paio di h. Le variabili sono Theta ( $theta$ ) e Rho ( $rho$ ).

La forma esponenziale dei numeri complessi prevede:
$ z^2 = "Re"^2z\cdot e^{2\cdot i"Im"z} $

Nel tuo caso il tuo professore ha espresso le coordinate in polari ponendo, di fatto:
$rho = "Re"z$
$theta = "Im"z$

Da qui il passaggio.

[ciampax]

Ehm, pater, guarda che il legame tra parte reale/immaginaria e forma polare è questo:

[tex]$\rho=\sqrt{(Re z)^2+(Im z)^2},\qquad \tan\theta=\frac{Im z}{Re z}$[/tex]

da cui l'espressione in forma trigonometrica

[tex]$z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$[/tex]

e usando l'identità di Eulero [tex]$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$[/tex], l'espressione in forma esponenziale

[tex]$z=\rho e^{i\theta}$[/tex]

[pater46]

Doh, ho confuso il modulo con la parte reale e l'argomento con la parte img :\ Questa analisi complessa mi sta mettendo a dura prova!

Il passaggio, allora, è semplicemente:
$ z^2 = |z|^2 cdot e^{2itheta} $

Speriamo di non cascarci all'esame :\ Ho corso tanto per studiare bene le trasformate e poi dimentico le basi :\