Equazione complessa e radice n-esima
Ho la seguente equazione da risolvere nel campo complesso:
$(1+i)z^4 = 2i$
Io ho proseguito così
$z^4= \frac{2i}{1+i}$
$z^4= 1+i$
$z = (1+i)^(1/4)$
Sfruttando il teorema sulle radici n-esime di un numero complesso $z\ne 0$, sapendo che $z$ ammette n radici distinte, devo ottenere 4 soluzioni distinte.
Passo alla forma trigonometrica per applicare il teorema:
$1+i = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) - i\sin(\frac{\pi}{4})) $
Da qui in poi ci sono dei problemi, probabilmente interpreto male io il teorema:
$\rho^(\frac{1}{n}) (\cos(\frac{\Theta +2k\pi} {n}) + i\sin(\frac{\Theta +2k\pi} {n})) $
con $k = 0,..., n-1$
Se provo a sostituire $k =0$ mi viene come prima soluzione $-(2)^\frac{1}{8}$ e mi sembra che non sia una soluzione dell'equazione.
$(1+i)z^4 = 2i$
Io ho proseguito così
$z^4= \frac{2i}{1+i}$
$z^4= 1+i$
$z = (1+i)^(1/4)$
Sfruttando il teorema sulle radici n-esime di un numero complesso $z\ne 0$, sapendo che $z$ ammette n radici distinte, devo ottenere 4 soluzioni distinte.
Passo alla forma trigonometrica per applicare il teorema:
$1+i = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) - i\sin(\frac{\pi}{4})) $
Da qui in poi ci sono dei problemi, probabilmente interpreto male io il teorema:
$\rho^(\frac{1}{n}) (\cos(\frac{\Theta +2k\pi} {n}) + i\sin(\frac{\Theta +2k\pi} {n})) $
con $k = 0,..., n-1$
Se provo a sostituire $k =0$ mi viene come prima soluzione $-(2)^\frac{1}{8}$ e mi sembra che non sia una soluzione dell'equazione.
Risposte
Devi dividere $pi/4$ per $4$ da cui $pi/16$ e allo stesso modo devi dividere $2pi$ per $4$ ottenendo $pi/2$ per cui le quattro soluzioni saranno $pi/16+kpi/2$ con $k=0, 1, 2, 3$
Ciao universo,
Non è più comodo se consideri la forma esponenziale?
Si ha:
$ 1 + i = \sqrt{2}e^{i \pi/4} $
Non è più comodo se consideri la forma esponenziale?
Si ha:
$ 1 + i = \sqrt{2}e^{i \pi/4} $
Ma è la stessa cosa … devi sempre trovare modulo ed argomento e dividere quest'ultimo per quattro … IMHO
Ho svolto nuovamente l'esercizio seguendo i consigli e ottengo:
$\sqrt(2)e^(i\frac{\pi}{16})$
Le altre soluzioni variano per l'argomento:
$\Theta_1 = \frac{9}{16}\pi$
$\Theta_2 = \frac{17}{16}\pi$
$\Theta_3 = \frac{25}{16}\pi$
Il testo non mette a disposizione le soluzioni perché si tratta di un foglio di esercizi disponibile sul sito didattico dell'unimi. Di solito verifico le soluzioni con l'ausilio di Wolframalpha, ma per i complessi non saprei come fare.
In ogni caso devo ancora inquadrare bene le formule per ricavare seno e cose partendo dalla forma algebralica. Se faccio l'arcsin e l'arcos delle formule per ricavare seno e coseno non sempre ottengo argomenti uguali.
PS:grazie ad entrambi.
$\sqrt(2)e^(i\frac{\pi}{16})$
Le altre soluzioni variano per l'argomento:
$\Theta_1 = \frac{9}{16}\pi$
$\Theta_2 = \frac{17}{16}\pi$
$\Theta_3 = \frac{25}{16}\pi$
Il testo non mette a disposizione le soluzioni perché si tratta di un foglio di esercizi disponibile sul sito didattico dell'unimi. Di solito verifico le soluzioni con l'ausilio di Wolframalpha, ma per i complessi non saprei come fare.
In ogni caso devo ancora inquadrare bene le formule per ricavare seno e cose partendo dalla forma algebralica. Se faccio l'arcsin e l'arcos delle formule per ricavare seno e coseno non sempre ottengo argomenti uguali.
PS:grazie ad entrambi.
Se il modulo di $1+i$ è $sqrt(2)$ come può il modulo della sua radice quarta essere lo stesso?
Hai ragione! Per correggere una cosa ne devo per forza scombinare un'altra 
E infatti anche nelle successive equazioni mi sono scordato di mettere il modulo sotto radice...
Dovrebbe essere dunque $2^\frac{1}{8}e^(i\Theta_k)$.
E infatti anche nelle successive equazioni mi sono scordato di mettere il modulo sotto radice...Dovrebbe essere dunque $2^\frac{1}{8}e^(i\Theta_k)$.
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