Equazione complessa di secondo grado e residui
Salve a tutti,
si tratta di un'equazione di secondo grado di variabili complesse.
L'equazione in questione è: $ z^2(i+2)-6iz+i-2 $ le cui soluzioni sono $ z_1=(5i)/(i+2)=1+2i $ e $ z_2=(i)/(i+2)=(1+2i)/5 $ che si trovano risolvendo l'equazione con la classica formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado.
Ora il punto è che la sua fattorizzazione è $ (z-(i)/(i+2))(z-(5i)/(i+2)) $ o quel che è lo stesso $ (z-(1+2i)/(5))(z-(1+2i)) $ ma se si va a moltiplicare il risultato non è quello di partenza
. Cioè $ z^2(i+2)-6iz+i-2 $ è diverso da $ (z-(i)/(i+2))(z-(5i)/(i+2))=(z-(1+2i)/(5))(z-(1+2i)) $ pur essendo la sua fattorizzazione.
Vi chiedo questo perché sto calcolando un integrale con i residui in cui è presente questa equazione:
$ int_(0)^(2pi) cosx/(2senx+cosx-3) $ che con gli opportuni calcoli viene $ int_(C_1)^() (z^2+1)/(z(z^2(i+2)-6iz+i-2)) $ dove C_1 è la circonferenza con centro in 0 e raggio 1. Ora so che devo prendere i poli con modulo minore di uno e calcolare i residui in questi poli. Ma se uso questa scomposizione qua $ z_1=(5i)/(i+2)=1+2i $ o questa $ z_2=(i)/(i+2)=(1+2i)/5 $ i residui sono:$ Res(f(z),0) =(-3-4i)/5 $ e $ Res(f(z),(i)/(i+2))=1+2i $.Se poi moltiplico per $ 2pii $ e sommo i residui nel risultato dell'integrale mi rimane la i e questo non è possibile perché l'integrale è di variabile reale. Se invece uso quest'altra scomposizione $ (z-(1+2i))((2+i)z-i) $ i residui sono:$ Res(f(z),0)=1/(i-2) $ e $ Res(f(z),i/(i+2))=(4+3i)/10 $.Se poi moltiplico per $ 2pii $ e sommo i residui il risultato dell'integrale viene $ -pi/5 $ che è il risultato giusto.
COME E' POSSIBILE???
Spero che qualcuno risponda presto perché l'esame è imminente (tra 2 giorni
) e non so davvero come risolvere questo problema.
si tratta di un'equazione di secondo grado di variabili complesse.
L'equazione in questione è: $ z^2(i+2)-6iz+i-2 $ le cui soluzioni sono $ z_1=(5i)/(i+2)=1+2i $ e $ z_2=(i)/(i+2)=(1+2i)/5 $ che si trovano risolvendo l'equazione con la classica formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado.
Ora il punto è che la sua fattorizzazione è $ (z-(i)/(i+2))(z-(5i)/(i+2)) $ o quel che è lo stesso $ (z-(1+2i)/(5))(z-(1+2i)) $ ma se si va a moltiplicare il risultato non è quello di partenza
. Cioè $ z^2(i+2)-6iz+i-2 $ è diverso da $ (z-(i)/(i+2))(z-(5i)/(i+2))=(z-(1+2i)/(5))(z-(1+2i)) $ pur essendo la sua fattorizzazione.Vi chiedo questo perché sto calcolando un integrale con i residui in cui è presente questa equazione:
$ int_(0)^(2pi) cosx/(2senx+cosx-3) $ che con gli opportuni calcoli viene $ int_(C_1)^() (z^2+1)/(z(z^2(i+2)-6iz+i-2)) $ dove C_1 è la circonferenza con centro in 0 e raggio 1. Ora so che devo prendere i poli con modulo minore di uno e calcolare i residui in questi poli. Ma se uso questa scomposizione qua $ z_1=(5i)/(i+2)=1+2i $ o questa $ z_2=(i)/(i+2)=(1+2i)/5 $ i residui sono:$ Res(f(z),0) =(-3-4i)/5 $ e $ Res(f(z),(i)/(i+2))=1+2i $.Se poi moltiplico per $ 2pii $ e sommo i residui nel risultato dell'integrale mi rimane la i e questo non è possibile perché l'integrale è di variabile reale. Se invece uso quest'altra scomposizione $ (z-(1+2i))((2+i)z-i) $ i residui sono:$ Res(f(z),0)=1/(i-2) $ e $ Res(f(z),i/(i+2))=(4+3i)/10 $.Se poi moltiplico per $ 2pii $ e sommo i residui il risultato dell'integrale viene $ -pi/5 $ che è il risultato giusto.
COME E' POSSIBILE???
Spero che qualcuno risponda presto perché l'esame è imminente (tra 2 giorni
) e non so davvero come risolvere questo problema.
Risposte
La fattorizzazione di $az^2+bz+c$ è $a(z-z_1)(z-z_2)$...
Grazie mille sei stato di grande aiuto. Quella $ a $ davanti a $ (z-z_1)(z-z_2) $ non me la ricordavo minimamente 
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