Equazione complessa con potenze, moduli e coniugato
Ciao a tutti, ho questa equazione complessa, vorrei capire se il ragionamento che faccio può essere giusto.
$ z^2= (z*)^2 (16|z^2|-1) $
Ora, ho provato a dividere per z* quadro oppure ho provato a moltiplicarlo per la parentesi, ma non ho raggiunto risultati troppo semplici. Se volessi pensarla in esponenziale mi è uscita cosi:
$ rho^2 e^(2ivartheta)/(rho^2e^(-2ivartheta)) = 16 rho^2 -1$
A questo punto diventerebbe:
$ e^(4ivartheta) + 16 rho^2 e^(ipi) = e^(ipi)$
Adesso come devo agire? Come uguaglio modulo e argomento?
Per l'argomento: $ 4vartheta = 2kpi$ con k da 0 a 3?
Per il modulo invece?
Ho provato cosi:
$ 1-16rho^2 = -1$ quindi $ rho=1/8^(1/2) $ su wolfram alpha però mi da 4 soluzioni con gli argomenti giusti, ma il modulo è 1/8.
Se conoscete un altro modo che risulti più immediato sarò contento di provarlo. Grazie
$ z^2= (z*)^2 (16|z^2|-1) $
Ora, ho provato a dividere per z* quadro oppure ho provato a moltiplicarlo per la parentesi, ma non ho raggiunto risultati troppo semplici. Se volessi pensarla in esponenziale mi è uscita cosi:
$ rho^2 e^(2ivartheta)/(rho^2e^(-2ivartheta)) = 16 rho^2 -1$
A questo punto diventerebbe:
$ e^(4ivartheta) + 16 rho^2 e^(ipi) = e^(ipi)$
Adesso come devo agire? Come uguaglio modulo e argomento?
Per l'argomento: $ 4vartheta = 2kpi$ con k da 0 a 3?
Per il modulo invece?
Ho provato cosi:
$ 1-16rho^2 = -1$ quindi $ rho=1/8^(1/2) $ su wolfram alpha però mi da 4 soluzioni con gli argomenti giusti, ma il modulo è 1/8.
Se conoscete un altro modo che risulti più immediato sarò contento di provarlo. Grazie
Risposte
Mi sembra tutto giusto. Se Wolfram Alpha ti da $rho=1/8$ invece di $rho=1/sqrt8=1/(2sqrt2)=sqrt2/4$ potresti controllare meglio se hai inserito il testo correttamente. E non scordarti $z=0$ 
"ValeForce":
Mi sembra tutto giusto. Se Wolfram Alpha ti da $rho=1/8$ invece di $rho=1/sqrt8=1/(2sqrt2)=sqrt2/4$ potresti controllare meglio se hai inserito il testo correttamente. E non scordarti $z=0$
Prima di tutto ti ringrazio per la risposta. Si effettivamente avevo errato nell'inserimento ed è giusto quello che avevo scritto.
Visto che sono ancora un po confuso però ti chiedo qualche delucidazione.
Per esempio:
Per calcolare l'argomento io ho portato i valori negativi in $e^(ipi)$ ad esempio -16 e -1, invece per il modulo non l'ho fatto ed ho tenuto i valori giusti, quindi 1-16r^2=-1.
E' giusto cosi? c'è qualche regola o sistemazione algebrica di fondo?
ti posto un altro esercizio per capire se lo svolgo correttamente:
$(z^2|z|)/(8-|z|)=4z$ --> $ rho3 e^(2ivartheta) = 32 rho e^(ivartheta) - 4rho^2 e^(ivartheta) $
Ho risolto cosi:
$rho3 e^(2ivartheta) - 32 rho e^(ivartheta) + 4rho^2 e^(ivartheta) = 0 $
A questo punto per il modulo:
$rho(rho^2+4rho-32)=0$ --> $rho=0, rho=4$
Per gli argomenti adesso mi troverei cosi:
$e^(2ivartheta)+e^(ivartheta)-e^(ivartheta)=0$ In questo caso avendo $-e^(ivartheta)$ lo porto in $e^(ivartheta+ipi)$?
Cosi l'argomento verrebbe: $2vartheta + vartheta +vartheta + pi = 2kpi$ --> $vartheta = -pi/4+kpi/2$ con k 0,3
Le mie soluzioni sono 4: $4(+- 1/sqrt(2) +-i/sqrt(2))$
Su wolfram non me lo svolge con z complesso. In questo caso è corretto portare il -e nella forma che ho scritto io per l'argomento?
Altrimenti avre $2vartheta-vartheta+vartheta=2kpi$ e quindi due soluzioni z=+-4
Ciao scartus,
L'equazione proposta è la seguente:
$ z^2 = \bar{z}^2 (16|z^2|-1) $
Comincerei con l'osservare che $z = 0 $ è una soluzione dell'equazione proposta; poi dato che $|z^2| = |z|^2 $ e $z \bar{z} =|z|^2 $, possiamo moltiplicare ambo i membri per $z^2 $, ottenendo così l'equazione seguente:
$z^4 = |z|^4 (16|z|^2 - 1) $
Quindi si ha:
$\rho^4 e^{i4\theta} = \rho^4(16\rho^2 - 1) e^{i0} $
Da quest'ultima si ha $ \rho^4 - \rho^4 (16\rho^2 - 1) = 0 \implies \rho^4(1 - 16\rho^2 + 1) = 0 \implies \rho = 0, \rho = 1/(2\sqrt{2})$ e $ 4\theta = 0 + 2k\pi \implies \theta = k\pi/2 $, $k = 0, 1, 2, 3 $ (poi le soluzioni si ripetono).
In definitiva le soluzioni dell'equazione proposta sono la seguenti:
$z^** = 0 $
$z_0 = 1/(2\sqrt{2}) $
$z_1 = i/(2\sqrt{2}) $
$z_2 = -1/(2\sqrt{2}) $
$z_3 = -i/(2\sqrt{2}) $
Si può notare che le soluzioni dell'equazione proposta sono i vertici di un quadrato di lato $l = 1/2 $ avente le due diagonali sui due assi del piano complesso che si incontrano nel punto $O(0,0) $, anch'esso soluzione dell'equazione proposta.
L'equazione proposta è la seguente:
$ z^2 = \bar{z}^2 (16|z^2|-1) $
Comincerei con l'osservare che $z = 0 $ è una soluzione dell'equazione proposta; poi dato che $|z^2| = |z|^2 $ e $z \bar{z} =|z|^2 $, possiamo moltiplicare ambo i membri per $z^2 $, ottenendo così l'equazione seguente:
$z^4 = |z|^4 (16|z|^2 - 1) $
Quindi si ha:
$\rho^4 e^{i4\theta} = \rho^4(16\rho^2 - 1) e^{i0} $
Da quest'ultima si ha $ \rho^4 - \rho^4 (16\rho^2 - 1) = 0 \implies \rho^4(1 - 16\rho^2 + 1) = 0 \implies \rho = 0, \rho = 1/(2\sqrt{2})$ e $ 4\theta = 0 + 2k\pi \implies \theta = k\pi/2 $, $k = 0, 1, 2, 3 $ (poi le soluzioni si ripetono).
In definitiva le soluzioni dell'equazione proposta sono la seguenti:
$z^** = 0 $
$z_0 = 1/(2\sqrt{2}) $
$z_1 = i/(2\sqrt{2}) $
$z_2 = -1/(2\sqrt{2}) $
$z_3 = -i/(2\sqrt{2}) $
Si può notare che le soluzioni dell'equazione proposta sono i vertici di un quadrato di lato $l = 1/2 $ avente le due diagonali sui due assi del piano complesso che si incontrano nel punto $O(0,0) $, anch'esso soluzione dell'equazione proposta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo