Equazione complessa con complesso coniugato
Ciao ragazzi, vorrei il vostro parere sul metodo per risolvere un'equazione complessa in cui appaia anche il complesso coniugato dell'incognita.
Giusto per fare un esempio, vi scrivo il testo dell'esercizio che mi ha fatto venire il dubbio, ed è il seguente:
$ z^4*conjugate(z)=16*sqrt(2)*(i-1) $
Ora, mi ricordo che il metodo migliore per risolvere un'equazione del genere è portare entrambi i membri in forma trigonometrica, sfruttando il fatto che $ z*conjugate(z)=(|z|)^2 $
Detti $ rho $ e $vartheta $ rispettivamente il modulo è l'argomento di $ z $ giungo alla scrittura:
$ (rho)^5*(cos(3*vartheta)+i*sen(3*vartheta))=2^5*(cos(3pi/4)+i*sen(3pi/4)) $
Non ricordo adesso come proseguire, so di dover impostare un sistema, ma non sono sicuro tra le due seguenti alternative:
$ { ( rho^5=2^5 ),( 3vartheta=3pi/4 ):} $
oppure
$ { ( rho^5=2^5 ),(tan(3vartheta)=tan(3pi/4) ):} $
Nel primo caso avrei un'unica soluzione, cioè $ rho=2 $ e $ vartheta=pi/4 $ , mentre nel secondo, avrei come soluzione tutti gli angoli che soddisfano la seconda equazione, cioè $ vartheta=pi/4 +kpi/3 $
Quale delle due è giusta? Siccome data la differenza tra le due ipotesi so benissimo che se una delle due fosse corretta l'altra sarebbe di certo un'immane eresia, potreste anche spiegarmi il perchè? Grazie
Giusto per fare un esempio, vi scrivo il testo dell'esercizio che mi ha fatto venire il dubbio, ed è il seguente:
$ z^4*conjugate(z)=16*sqrt(2)*(i-1) $
Ora, mi ricordo che il metodo migliore per risolvere un'equazione del genere è portare entrambi i membri in forma trigonometrica, sfruttando il fatto che $ z*conjugate(z)=(|z|)^2 $
Detti $ rho $ e $vartheta $ rispettivamente il modulo è l'argomento di $ z $ giungo alla scrittura:
$ (rho)^5*(cos(3*vartheta)+i*sen(3*vartheta))=2^5*(cos(3pi/4)+i*sen(3pi/4)) $
Non ricordo adesso come proseguire, so di dover impostare un sistema, ma non sono sicuro tra le due seguenti alternative:
$ { ( rho^5=2^5 ),( 3vartheta=3pi/4 ):} $
oppure
$ { ( rho^5=2^5 ),(tan(3vartheta)=tan(3pi/4) ):} $
Nel primo caso avrei un'unica soluzione, cioè $ rho=2 $ e $ vartheta=pi/4 $ , mentre nel secondo, avrei come soluzione tutti gli angoli che soddisfano la seconda equazione, cioè $ vartheta=pi/4 +kpi/3 $
Quale delle due è giusta? Siccome data la differenza tra le due ipotesi so benissimo che se una delle due fosse corretta l'altra sarebbe di certo un'immane eresia, potreste anche spiegarmi il perchè? Grazie
Risposte
L'equazione in $theta$ è: $3theta=3/4pi+2k pi$, dove a $k$ si assegnano tutti i possibili valori interi che permettono che sia$0<=theta<2 pi$
Ok, quindi non ci avevo preso nè nell'uno nè nell'altro caso, bene!
Comunque ho capito, a parte che nel mio esempio c'era un errore di calcolo, con il metodo che dici tu si ottengono alla fine 3 soluzioni, il che è quello che mi sarei dovuto aspettare essendo noi partiti da un'equazione complessa di 3° grado, giusto?
Comunque ho capito, a parte che nel mio esempio c'era un errore di calcolo, con il metodo che dici tu si ottengono alla fine 3 soluzioni, il che è quello che mi sarei dovuto aspettare essendo noi partiti da un'equazione complessa di 3° grado, giusto?
Questa equazione non era algebrica, quindi non era di terzo grado. Del resto seguendo il tuo ragionamento l'equazione: $z*z^("*")=1$ dovrebbe essere di grado zero eppure ammette infinite soluzioni.
Ok hai ragione, ho detto una scemenza
Comunque grazie della risposta
Comunque grazie della risposta
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