Equazione complessa
Ho questa equazione complessa:
$z^4 -(8+i)z^2 +8i =0$ per cercare di risolverla ho provato a fare la sostituzione $t=z^2$ arrivando così a
$t^2 -(8+i)t +8i = 0$ che a me sembra del tipo $ax^2+bx +c =0$
Ho provato a risolverla così ottenendo $t_(1,2)=(8+i +-sqrt(64 -1 +16i -32i))/2=4 +i/2 +- sqrt(63)/2 +sqrt(-16i)/2=(4+3sqrt7) +i/2 +sqrt(-16i)/2$
Più vado avanti e più la soluzione in $t$ assume aspetti più complicati... Il problema è che poi non posso risolvere in z, non avendo una soluzione in t accettabile... Magari c'è una soluzione più semplice...Grazie...
$z^4 -(8+i)z^2 +8i =0$ per cercare di risolverla ho provato a fare la sostituzione $t=z^2$ arrivando così a
$t^2 -(8+i)t +8i = 0$ che a me sembra del tipo $ax^2+bx +c =0$
Ho provato a risolverla così ottenendo $t_(1,2)=(8+i +-sqrt(64 -1 +16i -32i))/2=4 +i/2 +- sqrt(63)/2 +sqrt(-16i)/2=(4+3sqrt7) +i/2 +sqrt(-16i)/2$
Più vado avanti e più la soluzione in $t$ assume aspetti più complicati... Il problema è che poi non posso risolvere in z, non avendo una soluzione in t accettabile... Magari c'è una soluzione più semplice...Grazie...
Risposte
"Mito125":
Ho provato a risolverla così ottenendo $t_(1,2)=(8+i +-sqrt(64 -1 +16i -32i))/2=4 +i/2 +- sqrt(63)/2 +sqrt(-16i)/2=(4+3sqrt7) +i/2 +sqrt(-16i)/2$
$sqrt(-16i)/2=4*sqrt(i*i)/2=2$
Non so di quanto,ma già va meglio!
Hai fatto un erroraccio quando hai trasformato la radice quadrata di una somma nella somma nella somma di due radici.
Non è vero che $sqrt(a+b)= sqrta +sqrtb$, nemmeno in $CC$
L'equazione di secondo grado $t^2 -(8+i)t +8i = 0$ si può risolvere molto più velocemente:
Sai che la somma delle due radici è $8+i$, e che il loro prodotto è $8i$
Quali saranno mai le due radici?
(per radici si intendono le soluzioni della equazione. sicuramente lo sai, ma meglio precisarlo)
Se invece vuoi continuare dal punto in cui ti sei bloccato, cioè da qui
Quindi hai $t_(1,2)=(8+i +-(8-i))/2=> ...$
Non è vero che $sqrt(a+b)= sqrta +sqrtb$, nemmeno in $CC$
L'equazione di secondo grado $t^2 -(8+i)t +8i = 0$ si può risolvere molto più velocemente:
Sai che la somma delle due radici è $8+i$, e che il loro prodotto è $8i$
Quali saranno mai le due radici?
(per radici si intendono le soluzioni della equazione. sicuramente lo sai, ma meglio precisarlo)
Se invece vuoi continuare dal punto in cui ti sei bloccato, cioè da qui
"Mito125":basta notare che se $64-1 +16i$ è il quadrato di $8+i$, allora $64-1-16i$ è il quadrato di $8-i$.
$t_(1,2)=(8+i +-sqrt(64 -1 +16i -32i))/2$
Quindi hai $t_(1,2)=(8+i +-(8-i))/2=> ...$
Io non me ne ero accorto! 
Grazie per il procedimento... Ma trovando le due radici $a=8 b=i$ come risolvo??? Se mi dici il nome della regola provo a cercarla... E se somma e prodotto fossero state più difficili da risolvere(qui sono facili)???? Purtroppo non conoscendo il nome devo fare un'ulteriore domanda...
Mrhala: a me la tua soluzione della radice pare errata... Puoi ricontrollare??? al max $sqrt(-16i)=4 i^(3/2)$
Mrhala: a me la tua soluzione della radice pare errata... Puoi ricontrollare??? al max $sqrt(-16i)=4 i^(3/2)$
"Mito125":Hai $z^2=8 vv z^2= i$, che immagino tu sappia risolvere (siamo in $CC$)
trovando le due radici $a=8$, $ b=i$ come risolvo?
"Mito125":Non conoscevi questa proprietà di somma e prodotto? Si fa in seconda superiore o giù di lì. Guarda su wikipedia
Se mi dici il nome della regola provo a cercarla
"Mito125":Si può procedere come avevi scritto tu (senza però errori algebrici). Te l'ho scritto nel mio post precedente
E se somma e prodotto fossero state più difficili da risolvere(qui sono facili)?
Ha ok quindi ottengo $t=i t=8$ e poi sostituisco... Io stavo cercando invece un modo per metterle dentro a due radici, per avere qualcosa del tipo $()*()=0$, cioè scomporre il quadrato in due parti più semplici...
Purtroppo ho gravi lacune in matematica... E si notano sempre nei problemi più semplici direi... Cmq in generale, per quando ho un'equazione di secondo grado completa pongo:
$\{(x_1+x_2=-b),(x_1 x_2=c):}$ e risolvo questo sistema??? Può andar bene come generalizzazione???
Grazie ancora...
Purtroppo ho gravi lacune in matematica... E si notano sempre nei problemi più semplici direi... Cmq in generale, per quando ho un'equazione di secondo grado completa pongo:
$\{(x_1+x_2=-b),(x_1 x_2=c):}$ e risolvo questo sistema??? Può andar bene come generalizzazione???
Grazie ancora...
Accidenti. Stai cercando di risolvere una equazione di quarto grado (in $CC$) ,
quando non conosci nemmeno le basi delle equazioni di secondo grado?
Ti consiglio fortemente di recuperare un libro di teoria e di darci un'occhiata.
In sintesi ,
quando hai la generica equazione $ax^2+bx+c=0$, allora vale la proprietà ${(x_1+x_2= -b/a),(x_1*x_2=c/a):}$
Questo se esistono le soluzioni.
Se siamo in $CC$ (come nel nostro caso) le soluzioni ci sono sempre (e sono 2, o distinte o coincidenti)
Se siamo in $RR$ non è detto che ci siano. Deve valere $Delta=b^2-4ac>=0$
quando non conosci nemmeno le basi delle equazioni di secondo grado?
Ti consiglio fortemente di recuperare un libro di teoria e di darci un'occhiata.
In sintesi ,
quando hai la generica equazione $ax^2+bx+c=0$, allora vale la proprietà ${(x_1+x_2= -b/a),(x_1*x_2=c/a):}$
Questo se esistono le soluzioni.
Se siamo in $CC$ (come nel nostro caso) le soluzioni ci sono sempre (e sono 2, o distinte o coincidenti)
Se siamo in $RR$ non è detto che ci siano. Deve valere $Delta=b^2-4ac>=0$
Ok grazie... Cmq se metto in forma completa normale l'equazione a=1, quindi non divido... Grazie... Sto cercando fortemente di recuperare come i problemi/lacune spuntano... Cmq poi l'equazione in $C$ non è molto difficile da risolvere, soprattutto se si mette tutto in forma esponenziale tale da avere:
$z=\rho^(1/n)e^(i((\theta + 2k \pi)/n))$ con $k=0,1,..., n-1$
Penso che sia risolto questo dubbio... Grazie...
$z=\rho^(1/n)e^(i((\theta + 2k \pi)/n))$ con $k=0,1,..., n-1$
Penso che sia risolto questo dubbio... Grazie...
Prego. Buona continuazione
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