Equazione Complessa

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Ragazzi ho provato a risolvere questa equazione ma mi pare un pò troppo banale... e soprattutto non mi convince il fatto che un equaz di 6 grado (in $CC$) abbia 4 soluzioni:
$|z|^6 - 27\barz^3 = 0$
Trasformo in esponenziale
$\rho^6*e^(i0) = 27\rho^3*e^(i3\theta + 2k\pi)$
Ora ragionando diviedendo moduli e argomenti ho
1) $\rho^6 = 27\rho^3 \hArr \rho^3(\rho^3 - 27) = 0 \hArr \rho_1=0 ; \rho_2 = 3$ quindi ho già una soluzione $z_1 = 0$
Ora sugli angoli:
2) $0 = 3\theta + 2k\pi \hArr 3\theta = -2k\pi = 2k\pi \hArr \theta = 2/3 k \pi \rArr \theta_1 = 0; \theta_2 = 2/3\pi ; \theta_3 = 4/3 \pi$ Giusto??
Quindi in definitiva avrò solo 4 risultati:
$z_1 = 0 ; z_2 = 3; z_3 = 3e^(i2/3\pi); z_4 = 3e^(i4/3\pi)

Dove sta l'errore??

Grazie mille in anticipo per l'aiuto

[_nicola de rosa]

"enpires":Ragazzi ho provato a risolvere questa equazione ma mi pare un pò troppo banale... e soprattutto non mi convince il fatto che un equaz di 6 grado (in $CC$) abbia 4 soluzioni:
$|z|^6 - 27\barz^3 = 0$
Trasformo in esponenziale
$\rho^6*e^(i0) = 27\rho^3*e^(i3\theta + 2k\pi)$
Ora ragionando diviedendo moduli e argomenti ho
1) $\rho^6 = 27\rho^3 \hArr \rho^3(\rho^3 - 27) = 0 \hArr \rho_1=0 ; \rho_2 = 3$ quindi ho già una soluzione $z_1 = 0$
Ora sugli angoli:
2) $0 = 3\theta + 2k\pi \hArr 3\theta = -2k\pi = 2k\pi \hArr \theta = 2/3 k \pi \rArr \theta_1 = 0; \theta_2 = 2/3\pi ; \theta_3 = 4/3 \pi$ Giusto??
Quindi in definitiva avrò solo 4 risultati:
$z_1 = 0 ; z_2 = 3; z_3 = 3e^(i2/3\pi); z_4 = 3e^(i4/3\pi)

Dove sta l'errore??

Grazie mille in anticipo per l'aiuto

Nella tua soluzione c'è un piccolo errore $(bar z)^3=rho^3*e^(-3i(theta+2kpi))=e^(-i(3theta+2kpi))$
Innanzitutto io la risolverei così
$|z|^6=(|z|^2)^3=(z*barz)^3=z^3*(bar z)^3$ per cui l'equazione diventa $(bar z)^3*(z^3-27)=0$

Nota che la soluzione $z=0$ è soluzione tripla, ecco per cui non c'è alcun errore



Ora $(bar z)^3=0->z=0$ mentre $z^3=27->z_(k=0,1,2)=3*e^(i*2kpi/3)$

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Ah si scusa, vabbè tanto non cambia le soluzioni quel "bar" (anche se probabilmente cambia il voto al compito )
Quindi se ho capito bene siccome 0 ha molteplicità 3 viene contato 3 volte come soluzione??
Bene bene questa cosa non la sapevo grazie mille

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un altro piccolo dubbio!!! (spero non venga considerato come un UP ma penso sia meglio scriverlo qui che aprire un altra discussione)
Quando si ha un equazione del tipo $e^(nz) + w = 0$ (con $n in NN$, $w in CC$ e $z in CC$ incognito) si può sapere a priori il numero di soluzioni che dovrà avere l'equazione??
Grazie!!

[_nicola de rosa]

"enpires":un altro piccolo dubbio!!! (spero non venga considerato come un UP ma penso sia meglio scriverlo qui che aprire un altra discussione)
Quando si ha un equazione del tipo $e^(nz) + w = 0$ (con $n in NN$, $w in CC$ e $z in CC$ incognito) si può sapere a priori il numero di soluzioni che dovrà avere l'equazione??
Grazie!!

Dipende dal tipo di equazione

[enpires1]

In questo caso l'equazione era $e^(2z) = -4$ e trovo 2 soluzioni... siccome più volte mi è capitato che il numero di soluzioni coindicesse con il fattore che moltiplica z (il tutto ad esponente di e) mio chiedevo se ci fosse una qualche correlazione

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"enpires":Ragazzi ho provato a risolvere questa equazione ma mi pare un pò troppo banale... e soprattutto non mi convince il fatto che un equaz di 6 grado (in $CC$) abbia 4 soluzioni:
$|z|^6 - 27\barz^3 = 0$

Attenzione: questa non e' una equazione polinomiale, quindi non vi si puo' applicare il teorema fondamentale dell'algebra.
Per convincersene basta considerare l'equazione (non polinomiale) $|z|-1=0$. Essa ammette ovviamente infinite soluzioni.

[enpires1]

Cavolo verissimo!!! mi sono andato a riguardare la definizione ed effettivamente dice equazioni del tipo $z^n = w$... quindi anche per il secondo caso non si può sapere nulla giusto??
Grazie ancora per i chiarimenti!!!