Equazione complessa

[caronte559]

Ciao a tutti,

Qualcuno mi aiuta a capire il procedimento per risolvere questa equazione complessa?

$z+i\bar{z}^2+2i=0$

Credo di aver capito che il termine $i\bar{z}$ non e' altro che $z$ con i coefficienti reale ed immaginario invertiti.

Ora pero' non so come impostare un procedimento per la soluzione.

Grazie a tutti

[maurer]

Esattamente... $\bar{z}$ è il complesso coniugato...
Per risolverla puoi sostituire a z $a+ib$ e poi isolare parte reale ed immaginaria, imponendo in seguito che siano uguali a zero...

[caronte559]

Ok grazie,
vorrei solo una conferma riguardo al calcolo di
$i\bar{z}^2$ che riscrivo come
$i(a+ib)^2=i[(a^2-b^2)-i(2ab)]$ ed a questo punto per effetto della $i$ fuori parentesi, diventa
$i(a^2-b^2)-i^2(2ab)=(2ab)+i(a^2-b^2)$
Cioe' quella che prima era la parte reale e' diventata l'immaginaria e viceversa.

E' giusto?

[gugo82]

"caronte559":Ok grazie,
vorrei solo una conferma riguardo al calcolo di
$i\bar{z}^2$ che riscrivo come
$i(a+ib)^2=i[(a^2-b^2)-i(2ab)]$ ed a questo punto per effetto della $i$ fuori parentesi, diventa
$i(a^2-b^2)-i^2(2ab)=(2ab)+i(a^2-b^2)$
Cioe' quella che prima era la parte reale e' diventata l'immaginaria e viceversa.

E' giusto?

Attento che $barz =a-ib$ quindi...

[maurer]

beh... se chiami $z=a+ib$ allora $\bar{z}=a-ib$... per il resto è tutto giusto...

[caronte559]

Si' scusate, ho fatto un po' di confusione con i segni.
Vi ringrazio di avermi chiarito le idee con i numeri complessi.

[_nicola de rosa]

"caronte559":Ciao a tutti,

Qualcuno mi aiuta a capire il procedimento per risolvere questa equazione complessa?

$z+i\bar{z}^2+2i=0$

Credo di aver capito che il termine $i\bar{z}$ non e' altro che $z$ con i coefficienti reale ed immaginario invertiti.

Ora pero' non so come impostare un procedimento per la soluzione.

Grazie a tutti

Soluzione alternativa: $z=rho*e^(i*theta)$ con $(rho,theta) in [0,+infty)*[0,2pi]$ per cui
$bar z=rho*e^(-i*theta)->(bar z)^2=rho^2*e^(-2i*theta)$ quindi l'equazione diventa:

$rho*e^(i*theta)+rho^2*e^(i(pi/2-2theta))+2i=0$ da cui

$[rho*cos(theta)+rho^2*sin(2theta)]+i*[rho*sin(theta)+rho^2*cos(2theta)+2]=0$ $->$

${(rho*cos(theta)+rho^2*sin(2theta)=0),(rho*sin(theta)+rho^2*cos(2theta)+2=0):}$ $->$
${(rho*cos(theta)*(1+2*rho*sin(theta))=0),(rho*sin(theta)+rho^2*cos(2theta)+2=0):}$ $->$

${(1+2*rho*sin(theta)=0),(rho*sin(theta)+rho^2*cos(2theta)+2=0):}$ U ${(rho=0),(rho*sin(theta)+rho^2*cos(2theta)+2=0):}$ U ${(cos(theta)=0),(rho*sin(theta)+rho^2*cos(2theta)+2=0):}$

Dal secondo sistema otteniamo $2=0$ per cui la soluzione $z=0$ non è soluzione dell'equazione, come si ricava sostituendo anche subito $z=0$ nell'equazione iniziale. Dal terzo sistema otteniamo $theta=pi/2+kpi$ e per $theta=pi/2+2kpi->rho-rho^2+2=(rho+1)(rho-2)=0$ da cui otteniamo $rho=2$ e quindi $z=2*e^(i*(pi/2+2kpi))=2i$ ; per $theta=3pi/2+2kpi->-rho-rho^2+2=0->(rho-1)(rho+2)=0$ da la soluzione $z=e^(i*(3pi/2+2kpi))=-i$. Quindi dal secondo e terzo sistema abbiamo ottenuto le soluzioni $z=-i,z=2i$.
Dal primo sistema sostituendo $sin(theta)=-1/(2*rho)$ nella seconda equazione otteniamo: $-1/2+rho^2*(1-2*(-1/(2rho))^2)+2=0$ da cui $-1/2+2rho^2-1+2=2rho^2+1/2=0$ che non ammette soluzioni reali. In conclusione le soluzioni dell'equazione sono $z=-i,z=2i$

[franced]

"caronte559":Credo di aver capito che il termine $i\bar{z}$ non e' altro che $z$ con i coefficienti reale ed immaginario invertiti.

Basta pensare al fatto che la moltiplicazione per $i$ corrisponde
alla rotazione in senso antiorario di 90 gradi.
$\bar{z}$, invece, si ottiene da $z$ mediante la simmetria rispetto all'asse reale.

[franced]

"franced":[quote="caronte559"]Credo di aver capito che il termine $i\bar{z}$ non e' altro che $z$ con i coefficienti reale ed immaginario invertiti.

Basta pensare al fatto che la moltiplicazione per $i$ corrisponde
alla rotazione in senso antiorario di 90 gradi.
$\bar{z}$, invece, si ottiene da $z$ mediante la simmetria rispetto all'asse reale.[/quote]


In pratica la trasformazione

$z -> i * \bar(z)$

è la simmetria rispetto alla retta $Re(z) = Im(z)$ .

[antani2]

"nicola de rosa":[quote="caronte559"]Ciao a tutti,

Qualcuno mi aiuta a capire il procedimento per risolvere questa equazione complessa?

$z+i\bar{z}^2+2i=0$

Credo di aver capito che il termine $i\bar{z}$ non e' altro che $z$ con i coefficienti reale ed immaginario invertiti.

Ora pero' non so come impostare un procedimento per la soluzione.

Grazie a tutti

Soluzione alternativa: $z=rho*e^(i*theta)$ con $(rho,theta) in [0,+infty)*[0,2pi]$ per cui
$bar z=rho*e^(-i*theta)->(bar z)^2=rho^2*e^(-2i*theta)$ quindi l'equazione diventa:

$rho*e^(i*theta)+rho^2*e^(i(pi/2-2theta))+2i=0$ da cui

$[rho*cos(theta)+rho^2*sin(2theta)]+i*[rho*sin(theta)+rho^2*cos(2theta)+2]=0$ $->$

${(rho*cos(theta)+rho^2*sin(2theta)=0),(rho*sin(theta)+rho^2*cos(2theta)+2=0):}$ $->$
${(rho*cos(theta)*(1+2*rho*sin(theta))=0),(rho*sin(theta)+rho^2*cos(2theta)+2=0):}$ $->$

${(1+2*rho*sin(theta)=0),(rho*sin(theta)+rho^2*cos(2theta)+2=0):}$ U ${(rho=0),(rho*sin(theta)+rho^2*cos(2theta)+2=0):}$ U ${(cos(theta)=0),(rho*sin(theta)+rho^2*cos(2theta)+2=0):}$

Dal secondo sistema otteniamo $2=0$ per cui la soluzione $z=0$ non è soluzione dell'equazione, come si ricava sostituendo anche subito $z=0$ nell'equazione iniziale. Dal terzo sistema otteniamo $theta=pi/2+kpi$ e per $theta=pi/2+2kpi->rho-rho^2+2=(rho+1)(rho-2)=0$ da cui otteniamo $rho=2$ e quindi $z=2*e^(i*(pi/2+2kpi))=2i$ ; per $theta=3pi/2+2kpi->-rho-rho^2+2=0->(rho-1)(rho+2)=0$ da la soluzione $z=e^(i*(3pi/2+2kpi))=-i$. Quindi dal secondo e terzo sistema abbiamo ottenuto le soluzioni $z=-i,z=2i$.
Dal primo sistema sostituendo $sin(theta)=-1/(2*rho)$ nella seconda equazione otteniamo: $-1/2+rho^2*(1-2*(-1/(2rho))^2)+2=0$ da cui $-1/2+2rho^2-1+2=2rho^2+1/2=0$ che non ammette soluzioni reali. In conclusione le soluzioni dell'equazione sono $z=-i,z=2i$[/quote]

Tanto per fare un po' gli sboroni... :-p

[ManfredScicli]

Vi prego di risolvermi in tutti i passaggi la seguente equazione complessa...

X^2-iX+1-3i=0