Equazione complessa

[cavallipurosangue]

Come si risolve: $(z+1)^4=z^4$?
Magari sarà una cavolata..

[Fury1]

Penso che si possa fare così:

$[z(1+1/z)]^4=z^4$

$z^4(1+1/z)^4=z^4$ ponendo $z!=0$

$(1+1/z)^4=1$ sostituisci $w=(1+1/z)$

quindi hai: $w^4=1*[cos(0)+i*sin(0)]$

le radici di w sono:

$w_0=cos(0)+i*sin(0)=1$
$w_1=cos(pi/2)+i*sin(pi/2)=i$
$w_2=cos(pi)+i*sin(pi)=-1$
$w_3=cos(3/2pi)+i*sin(3/2pi)=-i$

Ma $w=(1+1/z)=1+barz/|z|^2$
Quindi alla fine ottieni:

$barz_0=0$ quindi $z_0=0$ non accettabile!
$barz_1=-|z|^2+i*|z|$ quindi $z=-|z|^2-i*|z|^2$
$barz_2=-2|z|^2$ quindi $z=-2|z|^2$
$barz_3=-|z|^2-i*|z|^2$ quindi $z=-|z|^2+i*|z|^2$

[cavallipurosangue]

Grazie Fury..

[Fury1]

Aspetta aspetta...... non avevo ancora finito!
tu sai che il modulo delle tue soluzioni DEVE
essere 1; quindi dall'unica soluzione reale ricavi
che $1=2|z|^2$ e così ottieni $|z|^2=1/2$;

Le tue soluzioni finali sono:

$z_1=-1/2+1/2i$
$z_2=-1/2$
$z_3=-1/2-1/2i$

[Fury1]

Questa è la risoluzione più rigorosa.... più teorica!
potevi altrimenti sviluppare $(z+1)^4=(z+1)^2(z+1)^2$
e così ottenevi il polinomio di terzo grado:
$4·z^3 + 6·z^2 + 4·z + 1=0$
con ruffini ottenevi:
$(z+1/2)*(2·z^2 + 2·z + 1)=0$
e avevi già finito.

[cavallipurosangue]

Ecco bravo io avevo impostato alla secoda maniera il problema.. Ma non ero riuscito a scoporre con Ruffini, come hai trovato la radice? e poi non dovrebbe esser :
$4(x+..)(x^2+...+1)$?