Equazione complessa

[tgrammer]

come risolvere l'equazione $ e^{1/z}=1 $ e arrivare al risultato $ z=i/{2πk} $ ?

[pilloeffe]

Ciao tgrammer,

Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri...

[tgrammer]

$ 1/z=ln(1) $ , $ z=1/{ln(1)} $ come continuo?

[pilloeffe]

tgrammer, stiamo parlando di logaritmi nel campo complesso $\CC $... Come è definito il logaritmo in $\CC$ ?

$ln(1) = ln|1| + ... = 0 + ... $

[tgrammer]

nel campo complesso $ z=ϱe^{iθ $
quindi $ ln(1)=ln(1)+iθ=0+iθ $
e $ z=1/{iθ $ ?
Spero in dei chiarimenti che mi facciano capire

[pilloeffe]

"tgrammer":quindi $ln(1)=ln(1)+iθ=0+iθ $

No, $ln(1) = ln|1| + 2k\pi i = 0 + 2k\pi i = 2k\pi i$, quindi $z = i/(2\pi k) $, $k \in \ZZ - {0} $

[tgrammer]

ricapitolando:
$ e^{1/z}=1 $ -> $ 1/z=ln(1)=i2πk $ -> $ z=1/{i2πk $
come mai la i è al numeratore però? grazie per la pazienza

[pilloeffe]

"tgrammer":come mai la i è al numeratore però?

Ha moltiplicato numeratore e denominatore per $i$ e poi considerato che se $k \in \ZZ - {0} $ anche $- k \in \ZZ - {0} $:

$z = 1/{i2\pi k} = i/(i^2 2 \pi k) = i/(2\pi (- k)) = i/(2\pi k) $

$k \in \ZZ - {0} $

[tgrammer]

chiarissimo, grazie!

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]