Equazione complessa
Salve, come parte finale di un esercizio più ampio mi son ridotto all'equazione
$z^6=-1$
Risolvo trovando modulo e angolo
$ rho = sqrt((-1)^2) = 1$
Per trovare l'angolo posso partire da $a$ o da $b$.
$a=rho cos vartheta =>cos vartheta=a/rho=-1/1= 1 =>vartheta=arccos(-1)=pi$
$b=rho sin vartheta =>sinvartheta=b/rho=0/1= 0 =>vartheta=arcsin(0)=0$
Tuttavia per $a$ e $b$ escono due angolo diversi, il che non è possibile.
Cosa sbaglio? Di solito non ho problemi in questi esercizi..
$z^6=-1$
Risolvo trovando modulo e angolo
$ rho = sqrt((-1)^2) = 1$
Per trovare l'angolo posso partire da $a$ o da $b$.
$a=rho cos vartheta =>cos vartheta=a/rho=-1/1= 1 =>vartheta=arccos(-1)=pi$
$b=rho sin vartheta =>sinvartheta=b/rho=0/1= 0 =>vartheta=arcsin(0)=0$
Tuttavia per $a$ e $b$ escono due angolo diversi, il che non è possibile.
Cosa sbaglio? Di solito non ho problemi in questi esercizi..
Risposte
Ciao
secondo me è più facile del previsto
quando si cercano le radici di unità (reali o immaginarie) si va a finire su vertici di poligoni regolari disegnati sul piano di gauss (la distanza di tali vertici dall'origine è appunto 1, il modulo che citavi tu).
secondo me è più facile del previsto
quando si cercano le radici di unità (reali o immaginarie) si va a finire su vertici di poligoni regolari disegnati sul piano di gauss (la distanza di tali vertici dall'origine è appunto 1, il modulo che citavi tu).
Si, in aula però abbiamo studiato da un punto di vista più "di calcolo", e il il docente pretende questo tipo di calcoli. Però non capisco come mai la stessa formula, partendo da a e da b, dia angoli diversi, il che è impossibile.
Occhio che $sin (0) = sin(\pi) = 0$.
L'arcoseno restituisce piu' valori.
L'arcoseno restituisce piu' valori.
"Quinzio":
Occhio che $sin (0) = sin(\pi) = 0$.
L'arcoseno restituisce piu' valori.
Questo è vero. Nel caso io calcoli l'angolo sia a partire da $a$ che da $b$, allora mi basterebbe vedere le soluzioni comuni, e l'unica è $pi$.
Nel caso in cui volessi calcolarne solo una e mi desse più soluzioni come in questo caso,come farei a rendermi conto di quale sia quella corretta?
O, ancora peggio, se partendo da entrambe le formule, si avessero 2 soluzioni comuni?
ho perso il filo...
A me sembra che ci siano 6 radici, tutte diverse, mi sbaglio?
A me sembra che ci siano 6 radici, tutte diverse, mi sbaglio?
Si certo. Mi sto riferendo solo all'angolo.
Mi pare che ti stai complicando la vita per niente ...
Posto $z^6=w= -1$, qual è il modulo di $w$? È $1$
Qual è l'argomento di $w$ ? È $pi$
Adesso calcoli le radici seste di $w$
Il modulo di tutte e sei è $1$, l'argomento di $z_0$ è $pi/6$, per l'argomento delle altre aggiungi $k*(2pi)/6$ con $k=1,2,3,4,5$
Posto $z^6=w= -1$, qual è il modulo di $w$? È $1$
Qual è l'argomento di $w$ ? È $pi$
Adesso calcoli le radici seste di $w$
Il modulo di tutte e sei è $1$, l'argomento di $z_0$ è $pi/6$, per l'argomento delle altre aggiungi $k*(2pi)/6$ con $k=1,2,3,4,5$
Continuo a non capire
Le 6 radici complesse possono essere scritte in vari modi
Alcuni di questi prevedono di esprimere un angolo oltre che un modulo.
Sul modulo siamo d accordo che è 1?
Poi gli angoli corrispondenti alle 6 radici sono 6 angoli diversi. Mi sbaglio?
Le 6 radici complesse possono essere scritte in vari modi
Alcuni di questi prevedono di esprimere un angolo oltre che un modulo.
Sul modulo siamo d accordo che è 1?
Poi gli angoli corrispondenti alle 6 radici sono 6 angoli diversi. Mi sbaglio?
Un minuto dopo alex
Mi riferisco all'angolo precedente.. quello che insomma poteva essere sia 0 che $pi$.
E' solo quello che vorrei approfondire, se entrambi gli angoli sono corretti, o se solo $pi$ lo è essendo l'unica soluzione comune usando la formula sia ad $a$ che a $b$.
Per le radici complesse e il modulo non c'è problema.
E' solo quello che vorrei approfondire, se entrambi gli angoli sono corretti, o se solo $pi$ lo è essendo l'unica soluzione comune usando la formula sia ad $a$ che a $b$.
Per le radici complesse e il modulo non c'è problema.
Non è vero che usando le formule vengono due angoli, dipende da come si "valutano" 
Premesso che è evidente dove "si trova" il numero complesso $-1$, come si trova il seno dell'argomento partendo dalla forma algebrica? E il coseno? E la tangente?
In generale, dato che a una funzione trigonometrica corrispondono due angoli, è necessario usare DUE di quelle informazioni per avere il dato corretto ...
Premesso che è evidente dove "si trova" il numero complesso $-1$, come si trova il seno dell'argomento partendo dalla forma algebrica? E il coseno? E la tangente?
In generale, dato che a una funzione trigonometrica corrispondono due angoli, è necessario usare DUE di quelle informazioni per avere il dato corretto ...
Non riesco davvero a seguire. Si trovano come ho scritto in apertura thread. 
"Jaeger90":
Salve, come parte finale di un esercizio più ampio mi son ridotto all'equazione
$z^6=-1$
Risolvo trovando modulo e angolo
$ rho = sqrt((-1)^2) = 1$
Per trovare l'angolo posso partire da $a$ o da $b$.
$a=rho cos vartheta =>cos vartheta=a/rho=-1/1= 1 =>vartheta=arccos(-1)=pi$
$b=rho sin vartheta =>sinvartheta=b/rho=0/1= 0 =>vartheta=arcsin(0)=0$
Tuttavia per $a$ e $b$ escono due angolo diversi, il che non è possibile.
Cosa sbaglio? Di solito non ho problemi in questi esercizi..
Sbagli perché non conosci la trigonometria di base.
Non puoi usare arcoseno ed arcocoseno a “capocchia” per determinare angoli.
"gugo82":
Non puoi usare arcoseno ed arcocoseno a “capocchia” per determinare angoli.
L'arccos di $-1$ è $pi$ e l' arcoseno di $0$ è ${0;pi}$
"Jaeger90":
[quote="gugo82"]Non puoi usare arcoseno ed arcocoseno a “capocchia” per determinare angoli.
L'arccos di $-1$ è $pi$ e l' arcoseno di $0$ è ${0;pi}$
[/quote]Da quando in qua l’arcoseno è un insieme?
Consiglio di rivedere la trigonometria elementare.
Non seguo... l'arccos di 0 ha due soluzioni e ognuna con periodo $2kpi$
No.
Invece di stare qui sul forum, vai a riprendere un libro delle superiori. Argomenti: equazioni elementari in seno ed in coseno, sistemi di equazioni trigonometriche.
Invece di stare qui sul forum, vai a riprendere un libro delle superiori. Argomenti: equazioni elementari in seno ed in coseno, sistemi di equazioni trigonometriche.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo