Equazione complessa

[liam-lover]

Qual è il modo più veloce di risolvere un'equazione di questo tipo?

$ |z-2|^2-2z-i=0 $

Di solito le vedo svolte sostituendo z=x+iy. Poichè usando questo metodo ottengo un'equazione di quarto grado nel sistema, volevo chiedervi se esiste una via alternativa.

[axpgn]

Perché di quarto grado?

[gugo82]

Osserva che da $|z - 2|^2 = 2z + mathbf(i)$ ricavi che $2 z + mathbf(i)$ è reale e $>=0$, quindi $2z = x - mathbf(i)$, i.e. $z = 1/2 x - 1/2 mathbf(i)$ con $x >= 0$.
Ne consegue che devi solo determinare $x$, il che non sembra proibitivo.

[liam-lover]

Intendi che dovrei calcolare x senza risolvere il sistema?



Per il quarto grado, questo è lo "svolgimento" che non riesco a terminare.

$ |x+iy-2|^2=2x+2ixy+i $

$ sqrt((x-2)^2+y^2) =2x+2ixy+i $

$ { ( sqrt((x-2)^2+y^2)=2x ),( xy=-1/2 ):} $

Scrivo il sistema delle condizioni per la prima equazone:

$ { ( (x-2)^2+y^2>=0 ),( 2x>=0 ),( (x-2)^2+y^2=4x^2 ):} $

$ { ( AA x,y in R ),( x>=0 ),( 3x^2+4x-4=y^2 ):} $

Posso avere x= -1/(2y) oppure y= -1/(2x), considerando il resto del primo sistema. Nel primo caso ho:

$ 3(-1/(2y))^2+4(-1/(2y))-4=y^2 $

$ 3/(4y^2)-2/y-4=y^2 $

Da cui:

$ (3-8y-16y^2-4y^4)/(4y^2)=0 $

Che è il punto in cui mi blocco.
Lo stesso quando sostituisco y=-1/(2x).

[gugo82]

Se l’incognita è una sola, cioè $x$, non vedo che sistema tu debba risolvere.

[axpgn]

@maxira
Mi pare che l'equazione originaria sia questa $(x-2)^2+y^2=2x+2iy+i$, che ne dici?