Equazione complessa

[Felice.]

Salve ragazzi nell'esame che terrò a breve ci saranno i numeri complessi, nello sbordone libro dal quale studio non sono presenti questi esercizi e ho costruito le mia basi un po' di qua e di la. Ora mi trovo in un equazione dubbia
$(z-i)^3=i^3$ ho sviluppato il cubo e semplificato $z^3-3iz^2+3z=+2i$ poi$(z(z^2-3i+3)=2i$ ora sto sicuramente sbagliando qualcosa sapreste aiutarmi?

[Felice.]

Non ho capito come hai fatto a trovare la w

[Felice.]

Ok ci sono ma dopo come procedo con de moivre? Ma non so come applicarlo...

[Reyzet]

Si vede subito che $z=2i$ è una soluzione, poi prova a sviluppare il cubo, conoscendo questa radice puoi vedere se si riesce a fattorizzare il polinomio

[Felice.]

@arnett fattorizzare nel senso che sostituisco z=a+ib e cercare di risolvere in questo modo? Perché non conosco altri metodi,come ho detto ho dovuto prendere informazioni di qua e di la

[Felice.]

Perfetto ho risolto, ora ho un altro quesito più che altro vorrei controllare con voi il procedimento $((1-sqrt(3)i)/(1+sqrt(3)i))^8$ in questo caso mi chiede a quale numero equivale devo soltanto razionalizzare ed applicare la formula di de moivre con modulo 1 quindi le radici sono$ 1^(1/8)e^(i((Arg(z)+2kpi)/n)$ giusto?

[Palliit]

$(z-i)^3-i^3=0$, scomponi il primo membro come differenza di cubi e usi la legge di annullamento del prodotto.

[gugo82]

O ancora, dato che $i^3=-i$, posto $w=z-i$ si tratta di risolvere l'equazione ausiliaria $w^3=-i$ (che è un problema di estrazione di radice).
Tale equazione ha come soluzioni le tre radici terze distinte di $-i$ (che si calcolano con una nota formula), chiamiamole $zeta_0, zeta_1,zeta_2$.
Tornando all'incognita iniziale $z$, troviamo le tre soluzioni $z_k=i+zeta_k$ con $k=0,1,2$.

[Felice.]

"arnett":A parte che esercizi diversi richiederebbero topic diversi, si capisce poco quello che vuoi fare.
Se è come penso la consegna richiede di esprimere il numero $((1-\sqrt3i)/(1+sqrt3i))^8$ in forma decente (algebrica? trigonometrica? nel dubbio le proviamo tutte). Basta sviluppare i calcoli; tu stai estraendo immotivatamente una radice.

$((1-\sqrt3)/(1+sqrt3))^8=((1-2sqrt3i-3)/4)^8=(-1/2-sqrt3/2i)^8=(\cos (4/3\pi)+i\sin (4/3\pi))^8=\cos(2/3\pi)+i\sin(2/3\pi)=-1/2+\sqrt3/2i$

@arnett non ho capito solo l'ultimo passaggio cioe da $(\cos (4/3\pi)+i\sin (4/3\pi))^8$ come ti trovi con $\cos(2/3\pi)+i\sin(2/3\pi)$