Equazione complessa

[Cantor99]

Salve ho da risolvere l'equazione
$z^2-2|z|=1+i√56$
Ponendo $z=a+bi$ arrivo a risolvere un sistema di due equazioni in due incognite.
${(a^2-b^2-2sqrt(a^2+b^2)=1),(ab=sqrt(14)):}$
Sostituendo la seconda nella prima mi ritrovo di fronte un'equazione di 8° grado!

C'è un modo più agevole di approcciare questo esercizio?

Edit: mi sono accorto che una soluzione può essere $z=+-sqrt(7)+-sqrt(2)i$, ciò non toglie che la domanda non debba avere una risposta ^^

[anonymous_0b37e9]

Risolvendo graficamente:

$\{(x^2-y^2-2sqrt(x^2+y^2)=1),(xy=sqrt14):} rarr$

$rarr \{(2sqrt(x^2+y^2)=x^2-y^2-1),(xy=sqrt14):} rarr$

$rarr \{(4x^2+4y^2=x^4+y^4+1-2x^2y^2-2x^2+2y^2),(xy=sqrt14):} ^^ [x^2-y^2-1 gt= 0] rarr$

$rarr \{(x^4+y^4-6x^2-2y^2-27=0),(xy=sqrt14):} ^^ [x^2-y^2-1 gt= 0]$

$x^4+y^4-6x^2-2y^2-27=0$

$xy=sqrt14$

$x^2-y^2-1 gt= 0$

Le soluzioni sono due:

$[x~=3] ^^ [y~=sqrt14/3]$

$[x~=-3] ^^ [y~=-sqrt14/3]$

Dubito si possa fare di meglio, se non numericamente.

[pilloeffe]

Ciao Cantor99,

Aggiungo all'ottimo post di @anonymous_0b37e9 che quanto hai scritto nell'Edit

"Cantor99":mi sono accorto che una soluzione può essere $z = \pm sqrt{7}\pm sqrt{2}i $

in realtà è falso: se sostituisci le soluzioni che hai citato nel sistema

$ {(a^2-b^2-2sqrt(a^2+b^2)=1),(ab=sqrt(14)):} $

ti accorgerai che sono il risultato dell'elevamento al quadrato, ma non sono soluzioni del sistema e quindi dell'equazione complessa proposta, che sono solo le due menzionate da Sergeant Elias.

[Cantor99]

Sisi me ne ero accorto, solo che ho avuto un problema ad editare, mi usciva una strana pagina ...

Grazie mille per l'aiuto!

[anonymous_0b37e9]

"pilloeffe":
... se sostituisci le soluzioni che hai citato nel sistema ...

Grazie per aver integrato.