Equazione complessa

[pepp1995]

Determinare le soluzioni complesse dell'equazione
$|z|^2 z^2 = 8 (1+isqrt3)$

Seguendo l'eserciziario del Bramanti , ho impostato la "separazione della parte reale dalla parte immaginaria" e cioè:
-ho sostituito a $z=x+iy$ ed a $|z|^2 = x^2+y^2$
-dopodiché ho sviluppato l'equazione raggruppando parte reale e parte immaginaria
-infine ho ottenuto un sistema di equazioni la parte reale e la parte immaginaria

Il problema sta nel fatto che il sistema è non lineare e non omogeneo. Consigli?

[pilloeffe]

Ciao pepp1995,

Così ad occhio in questo caso mi sembra molto più conveniente la forma polare:

$z = \rho e^{i\theta} \implies |z| = \rho \implies |z|^2 = \rho^2 $

Osservando poi che $w := 1 + i sqrt{3} = 2 e^{i frac{\pi}{3}} $ ...
Però se vuoi postare il sistema che hai ottenuto possiamo dare un'occhiata alla situazione...

[pepp1995]

$ { ( x^4-y^4=8 ),( x^3y+xy^3=4sqrt3 ):} $

[pepp1995]

"pilloeffe":Ciao pepp1995,

Così ad occhio in questo caso mi sembra molto più conveniente la forma polare:

$z = \rho e^{i\theta} \implies |z| = \rho \implies |z|^2 = \rho^2 $

Osservando poi che $w := 1 + i sqrt{3} = 2 e^{i frac{\pi}{3}} $ ...
Però se vuoi postare il sistema che hai ottenuto possiamo dare un'occhiata alla situazione...

Sulla falsa riga del tuo consiglio ho utilizzato la forma trigonometrica. Così ho ottenuto l'equazione:
$(p^2)[p^2 (cos2theta)+isin2theta)] = 16 [cos(pi/3)+isin(pi/3)]$

Dopodiché ricordando che due numeri complessi sono uguali se hanno stesso modulo e stesso argomento, ho ottenuto il sistema:

$ { ( p^2*p^2=16 ),( 2theta=pi/3+2kpi ):} $

Risolto il sistema e scrivendo il generico numero complesso in forma trigonometrica ottengo sei soluzioni (k=0,1,2,3,4,5)
di cui tre pari a $sqrt3+i$ e tre pari a $-sqrt3-i$
Mi chiedo : wolfram me ne indica solo due , ma non ho capito se questo è dato dal fatto che si ripetono oppure perché in realtà non ne sono sei ?