Equazione complessa

[lorenzo.pezzi94]

Salve a tutti, ho un'equazione complessa di cui devo sapere il risultato.
$z*$ sarebbe zeta coniugato

$(z^2|z*|)/(8-|z|)=4z$

Io ho agito cosi: ho moltiplicato e diviso entrambi i membri per 4z e 8-|z| (e poi ho portato |z| a sinistra)

Ho trovato il numero complesso e posto uguale a 0. E mi è venuto per y=0 e x=y.
Poi ho sostituito nell'equazione dei numeri reali.

per y=0 mi è venuto x1,2= $-2+-2sqrt(3)$

per x=y invece y=$8/sqrt2$

Avrò sicuramente sbagliato ma non ho altre idee purtroppo.

Grazie per l'aiuto

[pilloeffe]

Ciao scartus,

Osserverei che $z = 0 $ è sicuramente una soluzione. Poi dividerei tutto per $z$ e ricordando che $z \bar z = |z|^2 \implies \bar z = |z|^2 /z $, $z \ne 0 $...

[lorenzo.pezzi94]

"pilloeffe":Ciao scartus,

Osserverei che $z = 0 $ è sicuramente una soluzione. Poi dividerei tutto per $z$ e ricordando che $z \bar z = |z|^2 \implies \bar z = |z|^2 /z $, $z \ne 0 $...

Ciao, innanzitutto grazie per la risposta.

Purtroppo non ho $z \bar z $ ma ho $z |\barz|$ come posso applicare quello che mi hai scritto tu?

La mia soluzione è sbagliata in quanto ho confuso $|z|$ diverso da $|\barz|$ mentre invece sono uguali.

[pilloeffe]

"scartus":innanzitutto grazie per la risposta.

Prego.

"scartus":come posso applicare quello che mi hai scritto tu?

Per $z \ne 0 $ si ha $\bar z = |z|^2 /z \implies |\bar z | = ||z|^2 /z | = |z|^2 /|z| = |z| $

"scartus":La mia soluzione è sbagliata in quanto ho confuso $|z|$ diverso da $|\bar z|$ mentre invece sono uguali.

Era proprio quello che cercavo di farti capire (ma a quanto pare non ci sono riuscito... ) con la mia risposta: vedi la risposta alla citazione precedente...

Diciamo che, tolta la soluzione $z = 0 $ e considerando che deve essere $|z| \ne 8 $, la tua equazione diventa la seguente:

$ z|z| = 32 - 4|z| \implies z|z| + 4|z| = 32 \implies z + 4 = frac{32}{|z|} $

Visto che $z = x + iy \implies |z| = sqrt{x^2 + y^2} $, si ha:

$(x + 4) + iy = frac{32}{sqrt{x^2 + y^2}} $

Il primo membro (complesso) può essere uguale al secondo (reale) solo se $y = 0$. Con $y= 0 $ si ottiene:

$ x + 4 = frac{32}{sqrt{x^2}} = frac{32}{|x|} $

Per $x > 0 \implies |x| = x $ si ottiene l'equazione seguente:

$ x^2 + 4x - 32 = 0 \implies (x - 4)(x + 8) = 0 \implies x_1 = - 8 $ e $ x_2 = 4 $

L'unica soluzione accettabile è $ x_2 = 4 $. Per $x < 0 \implies |x| = - x $ non è difficile verificare che non esistono soluzioni reali. In definitiva, le due soluzioni dell'equazione iniziale proposta sono le seguenti:

$z_1 = 0 $
$z_2 = 4 $