Equazione Complessa
Ciao a tutti. Qualcuno potrebbe spiegarmi come risolvere questa equazione complessa?
$ 2z^4 = i * (\overline{z} )^2 * |z| $
$ 2z^4 = i * (\overline{z} )^2 * |z| $
Risposte
Consideri $z$ in forma polare $z = \rho \angle \phi$
e imposti un sistema di 2 equazioni uno con solo modulo e uno con solo fase.
$2 \rho^4 = \rho^3$
da cui $\rho = {0, 1/2}$
$4\angle\phi = \pi /2 -2\angle\phi \pm2k\pi$
$6\angle\phi = \pi /2 \pm 2k\pi$
$\angle\phi = \pi / (12)\pm 1/3k\pi$
e imposti un sistema di 2 equazioni uno con solo modulo e uno con solo fase.
$2 \rho^4 = \rho^3$
da cui $\rho = {0, 1/2}$
$4\angle\phi = \pi /2 -2\angle\phi \pm2k\pi$
$6\angle\phi = \pi /2 \pm 2k\pi$
$\angle\phi = \pi / (12)\pm 1/3k\pi$
Prima di tutto occorre un po' di yoga, seguita da un genere di conforto e tanta meditazione.
Dopo aver aperto i tuoi chakra della matematica, dovresti notare che $|z|^2=z*\bar z$ quindi ti conviene moltiplicare a destra e sinistra per $z^2$ in questo modo ottieni che:
$$
2z^6=i|z|^5
$$
Adesso scriviamo zeta in forma esponenziale cioè $z=\rho e^{i\theta}$ dove $\rho=|z|$ e $\theta=\arg (z)$ questo lo facciamo perché è molto semplice calcolarne le potenze infatti abbiamo che $z^6=\rho^6e^{i6\theta}$ sostituiamo quanto ottenuto nell'equazione, che dunque diventa:
$$
2\rho^6e^{i6\theta}=i\rho^5
$$
e semplificando (imponendo $z\ne 0$ infatti $z=0$ è una soluzione banale) otteniamo
$$
2\rho e^{i6\theta}=i
$$
adesso scriviamo $i$ in forma esponenziale, dunque $i=e^{i\frac \pi 2}$ e sostituiamo ottenendo
$$
2\rho e^{i6\theta}=e^{i\frac \pi 2}
$$
adesso l'eguaglianza è verificata se e solo se la parte reale del numero complesso a sinistra è uguale alla parte reale del numero complesso a destra, idem per le parti immaginarie, il che significa che
$$
2\rho =1
$$
e
$$
6\theta=\frac \pi 2 + 2k\pi \, ,\, k\in N
$$
dove il $2k\pi$ nasce dal fatto che essendo gli argomenti degli angoli questi sono equivalenti dopo ogni angolo giro.
risolviamo ed otteniamo che $\rho=\frac 1 2$ mentre $\theta=\frac{1+4k}{12}$ , è finita? ci sono dunque infiniti punti ? certo che no! Esistono sei soluzioni distinte e le trovi sostituendo i valori di $k$ da zero a cinque. Queste soluzioni sono i vertici di un esagono regolare inscritto in un cerchio di raggio $\frac 1 2$.
E questo è quanto.
Dopo aver aperto i tuoi chakra della matematica, dovresti notare che $|z|^2=z*\bar z$ quindi ti conviene moltiplicare a destra e sinistra per $z^2$ in questo modo ottieni che:
$$
2z^6=i|z|^5
$$
Adesso scriviamo zeta in forma esponenziale cioè $z=\rho e^{i\theta}$ dove $\rho=|z|$ e $\theta=\arg (z)$ questo lo facciamo perché è molto semplice calcolarne le potenze infatti abbiamo che $z^6=\rho^6e^{i6\theta}$ sostituiamo quanto ottenuto nell'equazione, che dunque diventa:
$$
2\rho^6e^{i6\theta}=i\rho^5
$$
e semplificando (imponendo $z\ne 0$ infatti $z=0$ è una soluzione banale) otteniamo
$$
2\rho e^{i6\theta}=i
$$
adesso scriviamo $i$ in forma esponenziale, dunque $i=e^{i\frac \pi 2}$ e sostituiamo ottenendo
$$
2\rho e^{i6\theta}=e^{i\frac \pi 2}
$$
adesso l'eguaglianza è verificata se e solo se la parte reale del numero complesso a sinistra è uguale alla parte reale del numero complesso a destra, idem per le parti immaginarie, il che significa che
$$
2\rho =1
$$
e
$$
6\theta=\frac \pi 2 + 2k\pi \, ,\, k\in N
$$
dove il $2k\pi$ nasce dal fatto che essendo gli argomenti degli angoli questi sono equivalenti dopo ogni angolo giro.
risolviamo ed otteniamo che $\rho=\frac 1 2$ mentre $\theta=\frac{1+4k}{12}$ , è finita? ci sono dunque infiniti punti ? certo che no! Esistono sei soluzioni distinte e le trovi sostituendo i valori di $k$ da zero a cinque. Queste soluzioni sono i vertici di un esagono regolare inscritto in un cerchio di raggio $\frac 1 2$.
E questo è quanto.
Bossmer Sei stato chiarissimo! Ti ringrazio infinatamente 
ma come ci sei arrivato che nell'equazione \(\displaystyle 2z^4 = i (\overline{z})^2 |z| \) e quindi dalla relazione \(\displaystyle |z|^2 = z * \overline{z} \)che devi moltiplicare per \(\displaystyle z^2 \) ??
Quando metto la condizione di z (diverso) da zero come so se è una potenziale soluzione oppure no? e se lo è, come faccio a dire che è una soluzione se prima ho imposto la condizione che z deve essere diverso da 0?
Perchè \(\displaystyle \rho^5 \) è scomparso senza dividere sia a destra e a sinistra, quindi semplificando l'esponente di \(\displaystyle 2z^6 \)?
Quando metto la condizione di z (diverso) da zero come so se è una potenziale soluzione oppure no? e se lo è, come faccio a dire che è una soluzione se prima ho imposto la condizione che z deve essere diverso da 0?
Perchè \(\displaystyle \rho^5 \) è scomparso senza dividere sia a destra e a sinistra, quindi semplificando l'esponente di \(\displaystyle 2z^6 \)?
Allora al primo quesito, ti potrei rispondere "con tanto esercizio personale"... però se vuoi vederla a formule... allora se so che $|z|^2=z\bar z$ allora elevando tutto al quadrato so che $|z|^4=z^2\bar z^2$ poiché nell'equazione di partenza $2z^4=i\bar z ^2 |z|$ ho già il termine $\bar z^2$ allora se moltiplico tutto per $z^2$ ottengo a destra il termine $z^2\bar z^2$ che posso poi sostituire con $|z|^4$ per la relazione che ho scritto poc'anzi... questo è il ragionamento...
per il secondo quesito, allora tu la imponi per i passaggi a seguire, da che ti trovi costretto a fare una divisione per $z$ e tu non puoi dividere per $0$... però se nell'equazione di partenza non hai dei diviso $z$ allora non c'è motivo per escludere $z=0$ dalle possibili soluzioni, tu lo devi imporre quando ti trovi costretto a dividere $z$ per giungere alla soluzione, e questa imposizione varrà nei passaggi e nei risultati a seguire, ma non influenzerà affatto i passaggi precedenti.
Per verificare se $z=0$ è soluzione basta sostituire e vedere se l'equazione è vera o falsa, cioè:
$$
2*0^4=i(\bar 0)^2|0| \rightarrow 0=0
$$
ed è perfettamente vero che zero è uguale a zero...
Se vuoi un modo più rigoroso per vedere la faccenda sarebbe stato il seguente:
partiamo già da questa relazione così facciamo prima
$$
2z^6=i |z|^5
$$
scriviamola in forma esponenziale
$$
2\rho^6e^{i6\theta}=i \rho^5
$$
portiamo a primo membro il termine a destra
$$
2\rho^6e^{i6\theta}-i \rho^5=0
$$
raccogliamo
$$
\rho^5(2\rho e^{i6\theta}-i)=0
$$
A questo punto abbiamo il prodotto di un monomio per un binomio, e sappiamo senza indugio che una moltiplicazione è uguale a zero se qualunque dei due termini è nullo, indipendentemente dall'altro... quindi proprio come quando facevi i raccoglimenti con le equazioni reali, le soluzioni di quella equazione le ottieni risolvendo indipendentemente
$$
\rho^5=0
$$
e
$$
2\rho e^{i6\theta}-i=0
$$
ed unendo le soluzioni ottenute...
allora la soluzione della prima è chiaramente $\rho=0$ e l'unico numero complesso che ha $\rho=0$ è proprio $z=0$ per cui $z=0$ è una soluzione, che va unita alle 6 soluzione della seconda equazione che abbiamo già visto come si risolve.
Per l'ultimo quesito non so bene cosa rispondere...ti direi di ricontrollare i passaggi secondo me hai avuto una svista...
per il secondo quesito, allora tu la imponi per i passaggi a seguire, da che ti trovi costretto a fare una divisione per $z$ e tu non puoi dividere per $0$... però se nell'equazione di partenza non hai dei diviso $z$ allora non c'è motivo per escludere $z=0$ dalle possibili soluzioni, tu lo devi imporre quando ti trovi costretto a dividere $z$ per giungere alla soluzione, e questa imposizione varrà nei passaggi e nei risultati a seguire, ma non influenzerà affatto i passaggi precedenti.
Per verificare se $z=0$ è soluzione basta sostituire e vedere se l'equazione è vera o falsa, cioè:
$$
2*0^4=i(\bar 0)^2|0| \rightarrow 0=0
$$
ed è perfettamente vero che zero è uguale a zero...
Se vuoi un modo più rigoroso per vedere la faccenda sarebbe stato il seguente:
partiamo già da questa relazione così facciamo prima
$$
2z^6=i |z|^5
$$
scriviamola in forma esponenziale
$$
2\rho^6e^{i6\theta}=i \rho^5
$$
portiamo a primo membro il termine a destra
$$
2\rho^6e^{i6\theta}-i \rho^5=0
$$
raccogliamo
$$
\rho^5(2\rho e^{i6\theta}-i)=0
$$
A questo punto abbiamo il prodotto di un monomio per un binomio, e sappiamo senza indugio che una moltiplicazione è uguale a zero se qualunque dei due termini è nullo, indipendentemente dall'altro... quindi proprio come quando facevi i raccoglimenti con le equazioni reali, le soluzioni di quella equazione le ottieni risolvendo indipendentemente
$$
\rho^5=0
$$
e
$$
2\rho e^{i6\theta}-i=0
$$
ed unendo le soluzioni ottenute...
allora la soluzione della prima è chiaramente $\rho=0$ e l'unico numero complesso che ha $\rho=0$ è proprio $z=0$ per cui $z=0$ è una soluzione, che va unita alle 6 soluzione della seconda equazione che abbiamo già visto come si risolve.
Per l'ultimo quesito non so bene cosa rispondere...ti direi di ricontrollare i passaggi secondo me hai avuto una svista...
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