Equazione complessa
Ciao a tutti, dovrei calcolare le radici dell'equazione $z^6-iz^3-1=0$ e rappresentarle in forma trigonometrica.
L'ho svolto in questo modo:
$x=-iz^3$ quindi $-x^2+x-1=0$ cioè $x^2-x+1=0$
Calcolo le radici:
$x_1=(1-sqrt(-1)sqrt(3))/2$ cioè $(1-i sqrt(3))/2$
e
$x_2(1+sqrt(-1)sqrt(3))/2$ cioè $(1+i sqrt(3))/2$
Quindi sostituisco $x$ con $-iz^3$
Procedo solo con una delle due soluzioni perché l'altra si svolge in modo analogo.
$-iz^3=(1+sqrt(3)i)/2$
$z^3=((1+sqrt(3)i)/(-2i))i/i$
$z^3=(i-sqrt(3))/2$
quindi $z_1=root(3)((i/2)-(sqrt(3)/2))$
Adesso calcolo modulo e l'argomento...
$|z^3|=|z|^3$
$|z|=sqrt((3/4)+(1/4))=1$ quindi $|z|^3=1$
$theta=\{(cos(theta) = -sqrt(3)/2),(sin(theta)=1/2):}$ $rArr$ $theta=5/6pi$
$theta^3= 3 (5/6pi)=5/2pi$ che posso scrivere come $pi/2 + 2pi$
Allora
$(cos((pi/2)/2)+i sin(pi/4))=sqrt(2)/2+i sqrt(2)/2=sqrt(2)/2(1+i)$
$(cos((pi/2+2pi)/2)+i sin(5pi/4))=-sqrt(2)/2-i sqrt(2)/2=-sqrt(2)/2(1+i)$
$(cos((pi/2+4pi)/2)+i sin(9pi/4))=i$
Poi l'latra soluzione $x_2$ che evito di scrivere...
Questo procedimento è giusto? Dovrebbero essere questi i risultati.
Grazie a tutti per l'attenzione.
L'ho svolto in questo modo:
$x=-iz^3$ quindi $-x^2+x-1=0$ cioè $x^2-x+1=0$
Calcolo le radici:
$x_1=(1-sqrt(-1)sqrt(3))/2$ cioè $(1-i sqrt(3))/2$
e
$x_2(1+sqrt(-1)sqrt(3))/2$ cioè $(1+i sqrt(3))/2$
Quindi sostituisco $x$ con $-iz^3$
Procedo solo con una delle due soluzioni perché l'altra si svolge in modo analogo.
$-iz^3=(1+sqrt(3)i)/2$
$z^3=((1+sqrt(3)i)/(-2i))i/i$
$z^3=(i-sqrt(3))/2$
quindi $z_1=root(3)((i/2)-(sqrt(3)/2))$
Adesso calcolo modulo e l'argomento...
$|z^3|=|z|^3$
$|z|=sqrt((3/4)+(1/4))=1$ quindi $|z|^3=1$
$theta=\{(cos(theta) = -sqrt(3)/2),(sin(theta)=1/2):}$ $rArr$ $theta=5/6pi$
$theta^3= 3 (5/6pi)=5/2pi$ che posso scrivere come $pi/2 + 2pi$
Allora
$(cos((pi/2)/2)+i sin(pi/4))=sqrt(2)/2+i sqrt(2)/2=sqrt(2)/2(1+i)$
$(cos((pi/2+2pi)/2)+i sin(5pi/4))=-sqrt(2)/2-i sqrt(2)/2=-sqrt(2)/2(1+i)$
$(cos((pi/2+4pi)/2)+i sin(9pi/4))=i$
Poi l'latra soluzione $x_2$ che evito di scrivere...
Questo procedimento è giusto? Dovrebbero essere questi i risultati.
Grazie a tutti per l'attenzione.
Risposte
Puoi verificare facilmente, sostituendo nell'equazione iniziale i risultati trovati, che non sono esatti.
Per calcolare le radici cubiche di un numero complesso non devi moltiplicare l'anomalia per 3: occorre dividerla.
Ciao
B.
Per calcolare le radici cubiche di un numero complesso non devi moltiplicare l'anomalia per 3: occorre dividerla.
Ciao
B.
Quindi se tutto quello scritto prima è corretto, modifico solo l'anomalia (per curiosità perché si chiama proprio così?) in questo modo..
$theta=5/6pi$
Allora
$cos((5/6pi)/3pi)+ i sin(5/18pi)$
$cos(((5/6pi)+2pi)/3)+ i sin(17/18pi)$
$cos(((5/6pi)+4pi)/3)+i sin(29/18pi)$
Me lo puoi confermare?
grazie!
$theta=5/6pi$
Allora
$cos((5/6pi)/3pi)+ i sin(5/18pi)$
$cos(((5/6pi)+2pi)/3)+ i sin(17/18pi)$
$cos(((5/6pi)+4pi)/3)+i sin(29/18pi)$
Me lo puoi confermare?
grazie!
Mi pare di sì, ma ti consiglio di verificarne (almeno uno) sempre: è facile sbagliare ad esempio un segno e per la verifica nella forma goniometrica o in quella esponenziale ci vuole davvero poco.
Anomalia credo, come nelle coodinate polari, in quanto 'misura' dello scostamento rispetto alla semiretta di riferimento, in questo caso quella dei reali positivi.
Ciao
B.
Anomalia credo, come nelle coodinate polari, in quanto 'misura' dello scostamento rispetto alla semiretta di riferimento, in questo caso quella dei reali positivi.
Ciao
B.
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