Equazione complessa..
Ciao a tutti, non ne vengo fuori con questa equazione complessa:
$ |z^2*(z-(bar(z-4i))|=|z*bar(z)-z*(z-4i)| $
Ho provato a sostituire z = x+iy ma mi non riesco a venirne a capo.
Come mi consigliate di procedere?
Grazie a tutti
$ |z^2*(z-(bar(z-4i))|=|z*bar(z)-z*(z-4i)| $
Ho provato a sostituire z = x+iy ma mi non riesco a venirne a capo.
Come mi consigliate di procedere?
Grazie a tutti
Risposte
\[
|z^2\cdot(z-(\overline{z-4i}))|=|z\cdot \overline{z}-z\cdot(z-4i)| \\
|z|\cdot|z^2-|z|^2-4iz|=||z|^2-z^2+4iz| \\
(|z|-1)|z^2-|z^2|-4iz|=0
\]
dunque qualunque $z$ che abbia modulo uno è soluzione dell'equazione. Le altre soluzioni sono date da $|z^2-|z^2|-4iz|=0$. $z=0$ è soluzione, dunque, posto $z=x+iy$, per trovare le altre possiamo supporre $z\ne 0$ e dividere per $z$:
\[
|z^2-|z^2|-4iz|=0 \\
|z-\overline{z}-4i|=0 \\
|2iy-4i|=0 \\
|2y-4|=0 \\
y=2
\]
dunque anche tutti gli $z$ della forma $z=x+i2$ sono soluzione dell'equazione.
|z^2\cdot(z-(\overline{z-4i}))|=|z\cdot \overline{z}-z\cdot(z-4i)| \\
|z|\cdot|z^2-|z|^2-4iz|=||z|^2-z^2+4iz| \\
(|z|-1)|z^2-|z^2|-4iz|=0
\]
dunque qualunque $z$ che abbia modulo uno è soluzione dell'equazione. Le altre soluzioni sono date da $|z^2-|z^2|-4iz|=0$. $z=0$ è soluzione, dunque, posto $z=x+iy$, per trovare le altre possiamo supporre $z\ne 0$ e dividere per $z$:
\[
|z^2-|z^2|-4iz|=0 \\
|z-\overline{z}-4i|=0 \\
|2iy-4i|=0 \\
|2y-4|=0 \\
y=2
\]
dunque anche tutti gli $z$ della forma $z=x+i2$ sono soluzione dell'equazione.
Grazie mille per la risposta, i primi tre passaggi per semplificare l'equazione non mi sono molto chiari. Più che altro come hai fatto ad ottenere (|z|−1)?
Nel primo passaggio nel membro sinistro ho fatto questi passaggi:
\[
|z^2\cdot(z-(\overline{z-4i}))|=|z\cdot z\cdot(z-(\overline{z}-\overline{4i}))|=|z\cdot z\cdot(z-\overline{z}+\overline{4i}))|=|z\cdot (z^2-z\overline{z}-4iz)| \\=|z\cdot (z^2-|z|^2-4iz)|=|z||z^2-|z|^2-4iz|
\]
mentre nel membro destro ho fatto
\[
|z\cdot \overline{z}-z\cdot(z-4i)|=||z|^2-z^2+4iz|=|z^2-|z|^2-4iz|.
\]
A questo punto ho portato tutto a membro sinistro e raccolto
\[
|z^2-|z|^2-4iz|
\]
ottenendo
\[
|z||z^2-|z|^2-4iz|=|z^2-|z|^2-4iz| \\
|z||z^2-|z|^2-4iz|-|z^2-|z|^2-4iz|=0 \\
(|z|-1)|z^2-|z|^2-4iz|=0
\]
\[
|z^2\cdot(z-(\overline{z-4i}))|=|z\cdot z\cdot(z-(\overline{z}-\overline{4i}))|=|z\cdot z\cdot(z-\overline{z}+\overline{4i}))|=|z\cdot (z^2-z\overline{z}-4iz)| \\=|z\cdot (z^2-|z|^2-4iz)|=|z||z^2-|z|^2-4iz|
\]
mentre nel membro destro ho fatto
\[
|z\cdot \overline{z}-z\cdot(z-4i)|=||z|^2-z^2+4iz|=|z^2-|z|^2-4iz|.
\]
A questo punto ho portato tutto a membro sinistro e raccolto
\[
|z^2-|z|^2-4iz|
\]
ottenendo
\[
|z||z^2-|z|^2-4iz|=|z^2-|z|^2-4iz| \\
|z||z^2-|z|^2-4iz|-|z^2-|z|^2-4iz|=0 \\
(|z|-1)|z^2-|z|^2-4iz|=0
\]
Capito grazie mille. Posso chiederti un'altra cosa se puoi rispondermi?
Mi sono imbattuto in questa equazione:
$ (1/18-isqrt(3)/18)bar(z)^2=1 $
Come faccio a risolverla? forma esponenziale?
Mi sono imbattuto in questa equazione:
$ (1/18-isqrt(3)/18)bar(z)^2=1 $
Come faccio a risolverla? forma esponenziale?
Innanzitutto la fai diventare
\[
z^2=-i\frac{17}{\sqrt{3}},
\]
e poi la risolvi usando la forma esponenziale.
\[
z^2=-i\frac{17}{\sqrt{3}},
\]
e poi la risolvi usando la forma esponenziale.
Quindi utilizzo : $ z^n=rho^n*e^(i*n*vartheta) $
Dove ho:
$ rho=17/3 $
$ vartheta = 3/2pi $
Giusto? fatto ciò come procedo?
Ti ringrazio per la pazienza
Dove ho:
$ rho=17/3 $
$ vartheta = 3/2pi $
Giusto? fatto ciò come procedo?
Ti ringrazio per la pazienza
In realtà hai che $\rho^2=\frac{17}{\sqrt{3}}$ (dunque $\rho=\sqrt{\frac{17}{\sqrt{3}}}$), e $2\vartheta=3/2\pi+ 2k\pi$ (dunque $\vartheta=3/4\pi+k\pi$), con $k=0,1$.
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