Equazione complessa
Dovrei risolvere la seguente equazione:
\(\displaystyle (\frac{z+1}{z-1} )^3 = 1 \)
Non so mettere le parentesi grandi per comprendere tutta la frazione, però si capisce abbastanza... Io l'ho risolta così:
\(\displaystyle \frac{(z+1)^3}{(z-1)^3} = 1 \)
\(\displaystyle (z+1)^3=(z-1)^3 \)
Ho risolto i cubi ed ho ottenuto una semplice equazione complessa:
\(\displaystyle z^3 +3z^2+3z+1=z^3-3z^2+3z-1 \)
Che porta subito alle due soluzione:
\(\displaystyle z_k = \pm i \frac{1}{\sqrt(3)}\)
C'è scritto però che esiste almeno un altro modo per risolverla, ma qual è??? Io avevo provato con la sostituzione:
\(\displaystyle \omega = \frac{z+1}{z-1} \)
\(\displaystyle \omega^3 = 1 \)
Ma lo svolgimento complicava le cose... Magari ho sbagliato... Potete aiutarmi? Grazie.
\(\displaystyle (\frac{z+1}{z-1} )^3 = 1 \)
Non so mettere le parentesi grandi per comprendere tutta la frazione, però si capisce abbastanza... Io l'ho risolta così:
\(\displaystyle \frac{(z+1)^3}{(z-1)^3} = 1 \)
\(\displaystyle (z+1)^3=(z-1)^3 \)
Ho risolto i cubi ed ho ottenuto una semplice equazione complessa:
\(\displaystyle z^3 +3z^2+3z+1=z^3-3z^2+3z-1 \)
Che porta subito alle due soluzione:
\(\displaystyle z_k = \pm i \frac{1}{\sqrt(3)}\)
C'è scritto però che esiste almeno un altro modo per risolverla, ma qual è??? Io avevo provato con la sostituzione:
\(\displaystyle \omega = \frac{z+1}{z-1} \)
\(\displaystyle \omega^3 = 1 \)
Ma lo svolgimento complicava le cose... Magari ho sbagliato... Potete aiutarmi? Grazie.
Risposte
Il secondo modo che hai iniziato va bene, infatti se risolvi $\omega^3=1$ ottieni le tre radici dell'unita'
$\omega=1, e^{\frac{2 \pi i}{3}}, e^{\frac{4 \pi i}{3}}$, e quindi si tratta di risolvere le tre equazioni di primo grado
$\frac{z-1}{z+1} =1$
$\frac{z-1}{z+1} = e^{\frac{2 \pi i}{3}}$
$\frac{z-1}{z+1} =e^{\frac{4 \pi i}{3}}$
Ti torna? Ciao!
$\omega=1, e^{\frac{2 \pi i}{3}}, e^{\frac{4 \pi i}{3}}$, e quindi si tratta di risolvere le tre equazioni di primo grado
$\frac{z-1}{z+1} =1$
$\frac{z-1}{z+1} = e^{\frac{2 \pi i}{3}}$
$\frac{z-1}{z+1} =e^{\frac{4 \pi i}{3}}$
Ti torna? Ciao!
Si si, così avevo fatto, però la prima equazione è inutile, la seconda però mi da qualche pensiero:
\(\displaystyle \frac{z+1}{z-1} = e^{\frac{2}{3} \pi} \)
Prima di moltiplicare per $z-1$ devo portare il $e^{\frac{2}{3} \pi}$ in una forma diversa da quella esponeziale?
Grazie.
\(\displaystyle \frac{z+1}{z-1} = e^{\frac{2}{3} \pi} \)
Prima di moltiplicare per $z-1$ devo portare il $e^{\frac{2}{3} \pi}$ in una forma diversa da quella esponeziale?
Grazie.
"Mito125":
Prima di moltiplicare per $z-1$ devo portare il $e^{\frac{2}{3} \pi}$ in una forma diversa da quella esponeziale?
Non dimenticare l'unita' immaginaria all'esponente, il numero e' $e^{\frac{2}{3} \pi i}$
Non so se il testo ti chiede un'espressione particolare, se no, la notazione esponenziale va benissimo perche' e' compatta.
INoltre considera che
$e^{\frac{2}{3} i\pi}+1 = -e^{\frac{4}{3}i \pi}$,
come si puo' verificare facilmente a mano, quindi l'espressione finale e' ancora piu' semplice
Si me lo sono proprio dimenticato, poi ho fatto copia incolla e non l'ho messo mai.. Piccola svista 
Però io proprio non ci torno fuori:
\(\displaystyle z = \frac{-1 -e^{\frac{2 \pi i}{3}}}{1-e^\frac{2 \pi i}{3}}\)
Io così non lo so proprio vedere... Ci ho provato ma non sono riuscito a fare niente... Mi ritorna solo se faccio così:
\(\displaystyle e^{\frac{2 \pi i}{3}} = -1/2 + i \sqrt(3)/2\)
Sostituisco dentro alla frazione per avere:
\(\displaystyle \frac{-1-i\sqrt(3)}{3-i\sqrt(3)} \frac{3+i\sqrt(3)}{3+i\sqrt(3)} = -i \frac{\sqrt(3)}{3} = -i \frac{1}{\sqrt(3)} \)
Che è proprio una soluzione cercata... Però non mi torna con gli esponenziali... Lo chiedo perchè magari c'è un sistema più veloce per risolvere il tutto, così diventa parecchio a rischio errore di svista....
Però io proprio non ci torno fuori:
\(\displaystyle z = \frac{-1 -e^{\frac{2 \pi i}{3}}}{1-e^\frac{2 \pi i}{3}}\)
Io così non lo so proprio vedere... Ci ho provato ma non sono riuscito a fare niente... Mi ritorna solo se faccio così:
\(\displaystyle e^{\frac{2 \pi i}{3}} = -1/2 + i \sqrt(3)/2\)
Sostituisco dentro alla frazione per avere:
\(\displaystyle \frac{-1-i\sqrt(3)}{3-i\sqrt(3)} \frac{3+i\sqrt(3)}{3+i\sqrt(3)} = -i \frac{\sqrt(3)}{3} = -i \frac{1}{\sqrt(3)} \)
Che è proprio una soluzione cercata... Però non mi torna con gli esponenziali... Lo chiedo perchè magari c'è un sistema più veloce per risolvere il tutto, così diventa parecchio a rischio errore di svista....
Potresti addirittura non calcolare esplicitamente le radici terze dell'unità e chiamarle \(\varepsilon_0 = 1\), \(\varepsilon_1\) e \(\varepsilon_2\) (come si fa di solito), tenendo presente che le equazioni scritte da Steven si risolvono facilmente, poiché:
\[
\begin{split}
1 + \varepsilon_1 + \varepsilon_2 &= 0\\
\varepsilon_1\cdot \varepsilon_2 &= 1
\end{split}
\]
(dimostralo!).
\[
\begin{split}
1 + \varepsilon_1 + \varepsilon_2 &= 0\\
\varepsilon_1\cdot \varepsilon_2 &= 1
\end{split}
\]
(dimostralo!).
"Mito125":
Che è proprio una soluzione cercata... Però non mi torna con gli esponenziali... Lo chiedo perchè magari c'è un sistema più veloce per risolvere il tutto, così diventa parecchio a rischio errore di svista....
Non capisco bene cosa intendi con "non mi torna con gli esponenziali", perdonami
"Steven":
Non capisco bene cosa intendi con "non mi torna con gli esponenziali", perdonami
Pensavo ci fosse un modo più semplice di quello che ho fatto io per risolvere quell'equazione... Però forse mi sto facendo troppi film, forse l'unico modo è trasformare l'esponenziale in forma algebrica...
"gugo82":
Potresti addirittura non calcolare esplicitamente le radici terze dell'unità e chiamarle \( \varepsilon_0 = 1 \), \( \varepsilon_1 \) e \( \varepsilon_2 \) (come si fa di solito), tenendo presente che le equazioni scritte da Steven si risolvono facilmente, poiché:
\[ \begin{split} 1 + \varepsilon_1 + \varepsilon_2 &= 0\\ \varepsilon_1\cdot \varepsilon_2 &= 1 \end{split} \]
(dimostralo!).
Purtroppo non credo di avere questa elasticità nel campo matematico... Potrei pure provarci, mi ricorda molto la forma somma e prodotto risolutiva per le equazioni di secondo grado, ma non credo di farcela... Grazie dell'aiuto però
"Mito125":
Pensavo ci fosse un modo più semplice di quello che ho fatto io per risolvere quell'equazione... Però forse mi sto facendo troppi film, forse l'unico modo è trasformare l'esponenziale in forma algebrica...
Secondo me questo modo e' abbastanza semplice. Va bene che i conti vanno semplificati ed evitati se inutili, ma a volte ci sono, e in questo caso sono fattibili
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo