Equazione complessa

[andros1]

devo risolvere questa equazione $z^2+i \bar(z)=1$
passando alle forme esponenziali e riscrivendo :
$z^2 =rho^2 e^(2 theta i)$
$i= 1*e^(pi/2)$
$\bar(z)= rho e^(-theta i)$

$rho^2 e^(2 theta i)+ [(e^(pi/2)) (rho e^(-theta i))]=1 \hArr rho^2 e^(2 theta i)+ rho e^(pi/2- theta)=1 hArr$

$\{(rho^2+rho=1),
(2 theta+(pi/2)-theta=0):}$
Ma non penso sia corretto

[stormy1]

è molto più semplice porre $z=a+ib$

[andros1]

Giusto,risolta
e per $ z+i\bar(z)^2=-2i$ la sostituzione può servire ?

[stormy1]

certamente

[andros1]

ottengo $x+iy+x^2i-y^2i+2i+2xy=0$

$\{(x+2xy=0),
(y+x^2-y^2+2=0):}$
ottengo $y=-1/2$ dalla prima e $x=\pmsqrt(5/4)$dalla seconda ma non è giusto

[stormy1]

a dire il vero a me risulta così :
scriviamo la prima equazione nelle forma $x(1+2y)=0$ che ha come soluzioni $x=0$ oppure $y=-1/2$
per x=0 devi risolvere l'equazione $y^2-y-2=0$
per y=-1/2 ti viene l'equazione impossibile $x^2+5/4=0$

[andros1]

e questa? $z^6+z^3+1=0$
posto $w=z^3$ risolvo e trovo le radici che sono $(-1\pm sqrt(3)i)/2$
Ora dovrei trovare le radici terze di $w_(1//2)$ ?

[andros1]

un altra cosa:come potrei risolvere questo sistema?
$\{(x^2-y^2+6=0),
(2xy+sqrt(5(x^2+y^2))=0):}$

[andros1]

up

[Palliit]

Sull'equazione complessa (penultimo problema posto) personalmente direi che va bene come hai fatto e come dici di voler proseguire.
Sul sistema (dove suppongo, più che altro per la notazione usata, che le incognite siano reali), una volta posto:__$xy<=0$,__metterei la seconda equazione nella forma:__$5(x^2+y^2)=4x^2y^2$__, e poi proverei con la sostituzione: $u=x^2$__,__$v=y^2$.

[andros1]

Ma in generale dove posso constatare in una equazione , ad esempio in $6z=-1 -|z|^2$ che un numero complesso è uguale a un numero reale allora devo passare ai moduli cioè sostituire $z$ con $|z|$ e trovare le soluzioni $|z|_(1//2)=(-6\pm sqrt(32))/2$ e queste sono le soluzioni di $z$ o devo fare qualche altra cosa?