Equazione cartesiana piano

[lowskillzz]

Equazione cartesiana di un piano contenente una retta data e parallelo ad un altro PIANO dato?
il piano ha equazione X-Y+Z-2=0 mentre la retta ha equazioni cartesiane
4X-2Y+3Z=1 2X+Z+1=0
Ho provato con i fasci ma mi sono bloccato..

[ciampax]

Se due piani sono paralleli, allora hanno la stessa normale. Per cui il piano da determinare deve avere equazione

[math]X-Y+Z+k=0[/math]

con

[math]k[/math]

da determinare.

Se una retta appartiene ad un piano, allora il piano si può vedere come uno dei piani del fascio

[math]\lambda(4X-2Y+3Z-1)+\mu(2X+Z+1)=0\ \Rightarrow\\ (4\lambda+2\mu)X-2\lambda Y+(3\lambda+\mu)Z+\mu-\lambda=0[/math]

Ora, le due equazioni che abbiamo scritto devono coincidere a meno di un fattore moltiplicativo

[math]\alpha[/math]

: ne segue che, eguagliando i coefficienti, si ha il sistema di equazioni

[math]4\lambda+2\mu=\alpha,\ -2\lambda=-\alpha,\ 3\lambda+\mu=\alpha,\ \mu-\lambda=\alpha k[/math]

da cui, essendo

[math]\alpha=2\lambda[/math]

si ha

[math]\lambda+\mu=0,\ \mu-\lambda=\alpha k\ \Rightarrow\ \lambda=-\mu,\ 2\mu=\alpha k[/math]

Se scegliamo allora

[math]\alpha=2[/math]

si ha

[math]\lambda=1,\ \mu=-1,\ k=-1[/math]

e quindi l'equazione del piano è

[math]X-Y+Z-1=0[/math]

[lowskillzz]

Grazie , chiaro e preciso.