Equazione campo numeri complessi
"$ z^2+|z|^2 =z^2*|z|^2+|z|^4 $"
Risolvere l'equazione nel campo complesso. Avevo pensare di portare tutto in forma trigonometrica e svolgere le potenze con le formule di De Moivre. Come soluzione ottengo tutti i punti della circonferenza di raggio 1. Wolfram Alpha non mi dà lo stesso risultato. Qualcuno può darmi una diritta?
Risolvere l'equazione nel campo complesso. Avevo pensare di portare tutto in forma trigonometrica e svolgere le potenze con le formule di De Moivre. Come soluzione ottengo tutti i punti della circonferenza di raggio 1. Wolfram Alpha non mi dà lo stesso risultato. Qualcuno può darmi una diritta?
Risposte
Prova così ...
$z^2-z^2|z|^2=|z|^4-|z|^2\ \ ->\ \ z^2(1-|z|^2)=-|z|^2(1-|z|^2)\ \ ->\ \ z^2=-|z|^2$ oltre ovviamente a $1=|z|^2$
$z^2-z^2|z|^2=|z|^4-|z|^2\ \ ->\ \ z^2(1-|z|^2)=-|z|^2(1-|z|^2)\ \ ->\ \ z^2=-|z|^2$ oltre ovviamente a $1=|z|^2$
quindi le prime due soluzioni sono z=1 e z=-1. L'altra equazione come potrei risolverla, ho provato in forma algebrica ma ottengo solo z=0
"raffaelegervasio":
quindi le prime due soluzioni sono z=1 e z=-1.
E perché, per esempio, $i$ e $-i$ non ti vanno bene? Quali passaggi hai fatto?
"raffaelegervasio":
L'altra equazione come potrei risolverla, ho provato in forma algebrica ma ottengo solo z=0
A me verrebbe che $z=ib$ cioè qualsiasi immaginario puro è soluzione ... che ne dici? quali passaggi hai fatto?
Nel primo caso $i$ e $-i$ non posso prenderli perché si parla di modulo e quindi di numeri reali e l'unico numero la cui radice è 1. è proprio 1, dunque scarterei anche -1, o almeno credo..... è così?
Nel secondo caso andando a rivedere sono d'accordo con te perché andando a risolvere la condizione in forma algebrica trovo solo limitazioni sulla parte reale che deve essere 0 e dunque z=ib
Nel secondo caso andando a rivedere sono d'accordo con te perché andando a risolvere la condizione in forma algebrica trovo solo limitazioni sulla parte reale che deve essere 0 e dunque z=ib
Stai facendo confusione ...
Hai questa equazione $1=|z|^2$, la quale ponendo $|z|=r$ diventa $1=r^2$ con soluzioni $r=+-1$
Risostituendo abbiamo $|z|=-1$, da scartare perché il modulo non è mai negativo e $|z|=1$; quali sono i numeri complessi che hanno $1$ come modulo? TUTTI quelli che stanno sulla circonferenza di raggio unitario (nel piano complesso). Ok?
Cordialmente, Alex
Hai questa equazione $1=|z|^2$, la quale ponendo $|z|=r$ diventa $1=r^2$ con soluzioni $r=+-1$
Risostituendo abbiamo $|z|=-1$, da scartare perché il modulo non è mai negativo e $|z|=1$; quali sono i numeri complessi che hanno $1$ come modulo? TUTTI quelli che stanno sulla circonferenza di raggio unitario (nel piano complesso). Ok?
Cordialmente, Alex
Grazie mille Alex, tutto chiaro.
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