Equazione campo complesso

[turbomen]

salve a tutti ragazzi sono alle prese con questa equazione e non riesco a venirne a capo

$sinz-jsinhjz+2\frac{cosz}{j}=(i+j)\(3)sqrt[-j] $

il (3) sta ad indicare radice terza di $ -j $

qualcuno potrebbe darmi una mano??

[luc.mm]

Non capisco perchè hai scritto con due lettere diverse l'unità immaginaria, $ i+j $ sarebbe $ 2j $ ?

Sfrutta le definizioni delle funzioni circolari e iperboliche complesse:

$ sinz=(e^(iz)-e^(-iz))/(2i) $

$ cosz=(e^(iz)+e^(-iz))/(2) $

$ sinhz=(e^(z)+e^(-z))/(2) $

Dovresti avere essendo $ isinz=sinh(iz) $

$ 2sinz-2icosz=-2i*i^(1/3) $

Dividi ora

$ isinz+cosz=i^(1/3) $

Sostituisci

$ (e^(iz)-e^(-iz))/(2)+(e^(iz)+e^(-iz))/(2)=e^(iz)=i^(1/3) $

Io poi farei così, non so se si può però qualcuno deve darmi conferma.

$ e^(iz)=e^(1/3logi) hArr iz=1/3logi+2ikpi $

E poi calcoli i logaritmi complessi:

$ logi=i(pi/2+2hpi) $

Per cui:

$ z=1/3(pi/2+2hpi) +2kpi $ con $ h,k $ interi relativi.

Spero abbia senso.

[turbomen]

scusa ho sbagliato a digitare

sarebbe $ ( 1+j )$

[luc.mm]

Mi sa che ho anche sbagliato perchè, c'è un problema nell'intendere l'esponenziale, una volta come $ exp(z) $ che dato $ z $ è un unico valore predefinito e un'altra come l'insieme delle potenze $ e^z $ che invece sono infiniti valori. Devo chiarire questa cosa.

Forse dovresti calcolarti le tre radici separatamente e unire le soluzioni di tutte e tre le equazioni che ottieni.

Riprovando ti viene:

$ -2ie^(iz)=(1+i)i^(1/3) hArr e^(iz)=i/2(1+i)i^(1/3) $

Calcoli le tre radici di $ i $

Per $ -i $ hai:

$ e^(iz)=i/2(1+i)*-i=1/2+1/2i $

$ iz=log(1/2+1/2i)=sqrt(2)/2+i(pi/4+2kpi) $

$ z=log(1/2+1/2i)=(pi/4+2kpi)-isqrt(2)/2 $

E così via per le altre due radici.

[turbomen]

in questo passaggio

$ e^(iz)=i/2(1+i)*-i=1/2+1/2i $

non ho capito da dove viene fuori $ -i $

[luc.mm]

Quando scrivi $ i^(1/3) $ intendi un insieme di tre numeri, le radici terze di $ i $ sono tre di cui una è $ -i $ infatti $ -i*-i*-i=i $ per cui è come se ti chiedessero di risolvere l'equazione al variare delle tre radici, cioè tre equazioni di cui poi fai l'unione delle soluzioni.