Equazione biquadratica di numeri complessi
qualcuno può aiutarmi con qeuste equazioni riguardanti i numeri complessi?
$z^(2)=i $
ho provato a rivolverla così
$|Z|= root(2)(x^(2)+y^(2))=1$
x=0=|Z|cosA
y=1=|Z|senA
da cui l'angolo A è uguale a 90°
quindi $ Z =[1,pi/2]$
usando la formula della radice quadrata ( $[1^(1/2),(pi/2+kpi)/2]$ ) non mi trovo,dovrebbe venire :$ z=+ o -(1+i)/root(2)(2)$
l'altra,biquadratica non mi è chiara,cosa dovrei fare?
$z^(4) + 1 =0 $
sostituisco $ z^(2)=s$ e svolgo
$s^(2)=-1
|Z|=1
x=-1=tcosA
y=0=tsenA $
da cui $A=pi$
quindi $S=[1,pi]$
..non so come proseguire
$z^(2)=i $
ho provato a rivolverla così
$|Z|= root(2)(x^(2)+y^(2))=1$
x=0=|Z|cosA
y=1=|Z|senA
da cui l'angolo A è uguale a 90°
quindi $ Z =[1,pi/2]$
usando la formula della radice quadrata ( $[1^(1/2),(pi/2+kpi)/2]$ ) non mi trovo,dovrebbe venire :$ z=+ o -(1+i)/root(2)(2)$
l'altra,biquadratica non mi è chiara,cosa dovrei fare?
$z^(4) + 1 =0 $
sostituisco $ z^(2)=s$ e svolgo
$s^(2)=-1
|Z|=1
x=-1=tcosA
y=0=tsenA $
da cui $A=pi$
quindi $S=[1,pi]$
..non so come proseguire
Risposte
esprimi $z=rho e^(i theta)$
A questo punto hai $rho^2\ e^(i 2 theta)=i$, trovati ora modulo ed argomento di $i$ ed imponile uguali (fai attenzione che devi trovare due soluzioni come nelle seconda ne devi trovare 4).
Per la seconda osserva che $z^4+1=(z^2+i)(z^2-i)$ e ragiona uguale.
A questo punto hai $rho^2\ e^(i 2 theta)=i$, trovati ora modulo ed argomento di $i$ ed imponile uguali (fai attenzione che devi trovare due soluzioni come nelle seconda ne devi trovare 4).
Per la seconda osserva che $z^4+1=(z^2+i)(z^2-i)$ e ragiona uguale.
credo che non mi sia chiara la parte "trovati modulo ed argomento di i ed imponili uguali"
nessuno che mi salva per dmn?vorrei capire con il metodo della sostituzione come viene 
$i $ è un numero complesso la cui parte reale è nulla ed è quindi un numero immaginario puro e lo si può rappresentare in forma esponenziale come tutti i numeri complessi.
Che modulo ha ? $1 $ che argomento ha ? sta sulla retta immaginaria nella semiretta positiva e quindi l'argomento vale $pi/2 $
Pertanto $i=1*e^(ipi/2)= e^(i pi/2)$La prima equazione diventa quindi $ rho^2 e^(i2 theta)=e^(i pi/2)$.
Risolvi questa equazione ricavando $rho $ e $theta $.
Ricorda che devi ottenere due soluzioni distinte in quanto l'equazione è di secondo grado.
Che modulo ha ? $1 $ che argomento ha ? sta sulla retta immaginaria nella semiretta positiva e quindi l'argomento vale $pi/2 $
Pertanto $i=1*e^(ipi/2)= e^(i pi/2)$La prima equazione diventa quindi $ rho^2 e^(i2 theta)=e^(i pi/2)$.
Risolvi questa equazione ricavando $rho $ e $theta $.
Ricorda che devi ottenere due soluzioni distinte in quanto l'equazione è di secondo grado.
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