Equazione alle differenze

[e^iteta]

sto studiando i sistemi dinamici discreti e mi è sorto un dubbio che vorrei tentare di risolvere:
supponiamo io abbia un'equazione alle differenze facile facile del tpo:
$x_(n+1)-x_n=f(n)$
dove $f(n)$ potrebbe anche essere $C^oo(RR)$, per rimanere in un caso semplice.
come posso analizzare la stabilità e in generale il comportamento asintotico delle soluzioni senza in alcun modo calcolarle? grazie mille come sempre a tutti

[raff5184]

"e^iteta":sto studiando i sistemi dinamici discreti e mi è sorto un dubbio che vorrei tentare di risolvere:
supponiamo io abbia un'equazione alle differenze facile facile del tpo:
$x_(n+1)-x_n=f(n)$
dove $f(n)$ potrebbe anche essere $C^oo(RR)$, per rimanere in un caso semplice.
come posso analizzare la stabilità e in generale il comportamento asintotico delle soluzioni senza in alcun modo calcolarle? grazie mille come sempre a tutti

Un sistema ti è normalmente dato in forma state-space, cioè con le matrici ABCD. Per studiare la stabilità di sitemi LINEARI non è necessario calcolarne le soluzioni. E' sufficiente calcolare il modulo degli autovalori della matrice A, nel tempo discreto.
E' una risposta che volevi sentirti dare, se ho capito bene la domanda?

[Kroldar]

A volte un sistema lineare, anziché da una rappresentazione ingresso-stato-uscita, è descritto da una rappresentazione ingresso-uscita, che può essere data equivalentemente in 3 modi:
- equazione differenziale (equazione alle differenze se a TD)
- risposta impulsiva
- funzione di trasferimento

Ora tu hai l'equazione alle differenze. Trova la funzione di trasferimento mediante zeta-trasformazione e poi accertati che i poli della funzione di trasferimento siano tutti a parte reali minore di $1$ per avere asintotica stabilità.

[_Tipper]

Magari mi sbaglio, perché sono un po' arrugginito, ma nei sistemi LTI tempo discreto, la stabilità asintotica non richiede che, ad essere minore di $1$, sia il modulo dei poli?

[raff5184]

infatti anche io ricordavo modulo degli autovalori. La parte reale è per il tempo continuo

[Kroldar]

"Tipper":Magari mi sbaglio, perché sono un po' arrugginito, ma nei sistemi LTI tempo discreto, la stabilità asintotica non richiede che, ad essere minore di $1$, sia il modulo dei poli?

Hai ragione. Ho involontariamente parlato di parte reale perché pensavo ai sistemi continui.
A tempo discreto i poli della funzione di trasferimento, nel caso di stabilità asintotica, devono essere contenuti all'interno della circonferenza di raggio unitario del piano complesso.

[e^iteta]

scusate se mi riconnetto solo ora, avete detto tutti delle cose molto interessanti.
il problema che mi pongo è: i metodi che avete citato, funzionano anche per i non-autonomi?
un'altra cosa, domanda da ignorante: cos'è una zeta-trasformazione?
grazie e scusate l'ignoranza

[raff5184]

"e^iteta":
cos'è una zeta-trasformazione?

Diciamo che è l'equivalente della trasformata di Laplace nel tempo discreto. E pertanto risulta utile per trovarsi la funzione di trasferimento di un sistema discreto. Ma sei all'inizio del corso? E' molto probabile che la stabilità dei sistemi l'affronterai in seguito

[e^iteta]

ciao,
riuppo il post con una domanda: ok sono andato a vedermi cos'è una Z-trasformata sul libro, ma ho un problemino a decifrare le tavole. infatti non riesco a calcolare la trasformata di $(sin k)/k$.
vorrei applicare questa formula:
$Z(1/k*X_k)(z)=-int_(00)^zZ(X_k)(omega)*1 /omegadomega$
posto ovviamente $X_k=sin(k)$
ma ho qualche problemino a interpretare quel simbolo di integrale, sembra che debba avere un estremo di integrazione complesso...
grazie a chiunque per le delucidazioni

[raff5184]

"e^iteta":ciao,
riuppo il post con una domanda: ok sono andato a vedermi cos'è una Z-trasformata sul libro, ma ho un problemino a decifrare le tavole. infatti non riesco a calcolare la trasformata di $(sin k)/k$.
vorrei applicare questa formula:
$Z(1/k*X_k)(z)=-int_(00)^zZ(X_k)(omega)*1 /omegadomega$
posto ovviamente $X_k=sin(k)$
ma ho qualche problemino a interpretare quel simbolo di integrale, sembra che debba avere un estremo di integrazione complesso...
grazie a chiunque per le delucidazioni

forse sono io chericordo male ma la z trasformata è discreta, quindi dovresti avere una sommatoria e non un integrale! L'integrale dovresti usarlo per l'antitasformata z

[e^iteta]

mmm temo allora di aver capito ben poco...
Infatti qui la Z-trasf viene definita in questo modo:
$Z{X_k}(z)=sum_(k=0)^(+oo)X_k/z^k$
dove $X_k$ è la successione che vuoi trasformare.
Da questa relazione si vede che è una funzione continua ed olomorfa.