Equazione alle differenze
Ciao a tutti,
Sia data la seguente equazione alle differenze, con $t in NN$ :
Sia $x(0)^t= (0.25 , 0.25 , 0.25 , 0.25 )$
Devo calcolare $ lim_(t -> +oo ) x(t+1) $ .
Notando che:
$x(1)^t = (0.125, 0.375, 0.375, 0.125)$
E che i vari $x_i (t)$ diminuiscono volta volta, giungo immediatamente alla conclusione che
Devo calcolare $ lim_(t -> +oo ) x(t+1) = (0, 0, 0, 0)$ .
Eppure il risultato non è questo. Qualcuno sa dirmi dove ho sbagliato?
Sia data la seguente equazione alle differenze, con $t in NN$ :
$x(t+1)= [ ( 0 , 0 , 0.5 , 0 ),(0.5 , 0 , 0.5 , 0.5 ),( 0 , 1 , 0 , 0.5 ),( 0.5 , 0 , 0 , 0 ) ] * x(t) $
Sia $x(0)^t= (0.25 , 0.25 , 0.25 , 0.25 )$
Devo calcolare $ lim_(t -> +oo ) x(t+1) $ .
Notando che:
$x(1)^t = (0.125, 0.375, 0.375, 0.125)$
E che i vari $x_i (t)$ diminuiscono volta volta, giungo immediatamente alla conclusione che
Devo calcolare $ lim_(t -> +oo ) x(t+1) = (0, 0, 0, 0)$ .
Eppure il risultato non è questo. Qualcuno sa dirmi dove ho sbagliato?
Risposte
Beh, vedi un po' che succede risolvendola esplicitamente... Esistono tecniche standard per farlo: le conosci?
"gugo82":
Beh, vedi un po' che succede risolvendola esplicitamente... Esistono tecniche standard per farlo: le conosci?
Comunque ho scoperto che mi sbagliavo perché già per $x(2)$ non è vero che
$x_i(2) < x_i(1) forall i$
Errore di calcolo, direi di distrazione.
Comunque no, non le conosco! Sapresti citarne qualcuna? Preciso che frequento una triennale di ingegneria
"impe":
Devo calcolare $ lim_(t -> +oo ) x(t+1) = (0, 0, 0, 0)$ .
È una catena di Markov, no? Se $x(t)$ tende a qualcosa, la somma dei quattro valori deve essere 1 perchè lo è inizialmente. E la catena non sembra periodica. A questo punto $x(0)$ è essenzialmente irrilevante.
la somma dei quattro valori deve essere $1$ perché lo è inizialmente? ne sei sicuro ghira? chiedo eh
"ronti":
la somma dei quattro valori deve essere $1$ perché lo è inizialmente? ne sei sicuro ghira? chiedo eh
In questo caso sì. Per una matrice qualsiasi, ovviamente no. Ma qui abbiamo la matrice di transizione di una catena di Markov.
"ghira":
È una catena di Markov, no?
Da cosa hai compreso che si tratta di una catena di Markov?
"impe":
[quote="ghira"]
È una catena di Markov, no?
Da cosa hai compreso che si tratta di una catena di Markov?[/quote]
Mi pareva così. È in effetti una catena di Markov?
In ogni caso, devi risolvere delle equazioni simultanee.
E' un post vecchio, ma merita alcune considerazioni aggiuntive.
Dato X(t+1) = A X(t), preliminarmente si devono calcolare gli autovalori di A ovvero gli z per cui det(A-zI)=0.
Senza addentrarmi troppo nella teoria e prescindendo da casi di particolari condizioni iniziali, risulta che se tutti gli autovalori hanno modulo inferiore all'unità la soluzione tenderà a zero, se vi sono autovalori di modulo superiore all'unità il sistema divergerà e tenderà all'infinito e se vi sono autovalori negativi o complessi di modulo 1 e molteplicità 1 darà luogo a comportamenti oscillatori. L'unico caso in cui può convergere ad una soluzione costante non banale è se un autovalore è z=1 con gli altri autovalori di modulo inferiore all'unità, che è proprio il caso di questo sistema.
Ovviamente la soluzione va trovata risolvendo la condizione del punto fisso X=AX, ma proprio il fatto che z=1 sia autovalore, impone che il sistema sia singolare di rango 3 (altrimenti la sua soluzione sarebbe quella banale).
A questo punto osserviamo che se y(t) è la somma delle xi, sommando tutte le equazioni risulta y(t+1)=y(t), ovvero la somma delle xi è costante. Quindi la quarta equazione è x1+x2+x3+x4 = 1, che aggiunta a 3 delle equazioni del punto fisso fornisce la soluzione all'infinito:
$ x1 =4/21; x2=1/3; x3=8/21; x4=2/21 $
Dato X(t+1) = A X(t), preliminarmente si devono calcolare gli autovalori di A ovvero gli z per cui det(A-zI)=0.
Senza addentrarmi troppo nella teoria e prescindendo da casi di particolari condizioni iniziali, risulta che se tutti gli autovalori hanno modulo inferiore all'unità la soluzione tenderà a zero, se vi sono autovalori di modulo superiore all'unità il sistema divergerà e tenderà all'infinito e se vi sono autovalori negativi o complessi di modulo 1 e molteplicità 1 darà luogo a comportamenti oscillatori. L'unico caso in cui può convergere ad una soluzione costante non banale è se un autovalore è z=1 con gli altri autovalori di modulo inferiore all'unità, che è proprio il caso di questo sistema.
Ovviamente la soluzione va trovata risolvendo la condizione del punto fisso X=AX, ma proprio il fatto che z=1 sia autovalore, impone che il sistema sia singolare di rango 3 (altrimenti la sua soluzione sarebbe quella banale).
A questo punto osserviamo che se y(t) è la somma delle xi, sommando tutte le equazioni risulta y(t+1)=y(t), ovvero la somma delle xi è costante. Quindi la quarta equazione è x1+x2+x3+x4 = 1, che aggiunta a 3 delle equazioni del punto fisso fornisce la soluzione all'infinito:
$ x1 =4/21; x2=1/3; x3=8/21; x4=2/21 $
@ingres: non sono del tutto d'accordo qui:
Ci possono essere autovalori grandi. Ma se la condizione iniziale $x_0$ è combinazione lineare degli autovalori piccoli, il sistema converge. Diciamo che in questo caso il sistema "non vede" gli autovalori grandi.
Un esempio semplicissimo: prendi la matrice
\[
A=\begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0& 1000\end{bmatrix}.\]
Gli autovalori sono $1$ e $1000$. Se il dato iniziale è
\[
x_0=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \]
allora la successione \(x_{n+1}=Ax_n\) si riduce a \(x_n=(1, 0)^T\) per ogni \(n\), e in particolare essa converge.
L'unico caso in cui può convergere ad una soluzione costante non banale è se un autovalore è z=1 con gli altri autovalori di modulo inferiore all'unità
Ci possono essere autovalori grandi. Ma se la condizione iniziale $x_0$ è combinazione lineare degli autovalori piccoli, il sistema converge. Diciamo che in questo caso il sistema "non vede" gli autovalori grandi.
Un esempio semplicissimo: prendi la matrice
\[
A=\begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0& 1000\end{bmatrix}.\]
Gli autovalori sono $1$ e $1000$. Se il dato iniziale è
\[
x_0=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \]
allora la successione \(x_{n+1}=Ax_n\) si riduce a \(x_n=(1, 0)^T\) per ogni \(n\), e in particolare essa converge.
Qualunque sistema dinamico (anche in tempo continuo) con autovalori "stabili" e "instabili", per particolari condizioni iniziali potrà darà una risposta stabile e proprio per questo ho evidenziato nella mia risposta "prescindendo da casi di particolari condizioni iniziali".
Questo comportamento, più in generale, avviene tutte le volte che la condizione iniziale è proporzionale all'autovettore corrispondente al solo autovalore stabile (come nel caso che hai riportato).
Ovviamente questo discorso ha senso solo dal punto di vista puramente matematico.
Poichè le condizioni iniziali perfette non esistono, un sistema reale con qualche autovalore instabile (ovvero parte reale positiva nel caso continuo, modulo maggiore dell'unità nel caso discreto) tenderà comunque a divergere e questo è il motivo per cui i casi di "particolari condizioni iniziali" sono negletti.
Questo comportamento, più in generale, avviene tutte le volte che la condizione iniziale è proporzionale all'autovettore corrispondente al solo autovalore stabile (come nel caso che hai riportato).
Ovviamente questo discorso ha senso solo dal punto di vista puramente matematico.
Poichè le condizioni iniziali perfette non esistono, un sistema reale con qualche autovalore instabile (ovvero parte reale positiva nel caso continuo, modulo maggiore dell'unità nel caso discreto) tenderà comunque a divergere e questo è il motivo per cui i casi di "particolari condizioni iniziali" sono negletti.
Certo, adesso si che sono d'accordo.
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