Equazione agli autovalori
Ciao a tutti ho un piccolo problemino in questa equazione agli autovalori.Il problema è questo:
Dato l'operatore :
H = - $d^2 / dx^2$
che agisce nello spazio $L_+^2$ delle funzioni pari al quadrato sommabili e periodiche nell'intervallo x $in$ [ -l , l ].
Determinare autovalori ed autofunzioni |$f_n$> di H.(non ho trovato il modo di scrivere correttam il ket della notazione di dirac).
Allora i passaggi che ho fatto io sono questi :
- $d^2/dx^2$ f = $lambda^2$f
che è una equazione differenziale del secondo ordine omogenea la cui soluzione (poichè il delta è negativo)è del tipo:
f(x) = Acos(λx)+Bsin(λx)
Applico le condizioni al contorno...cioè la periodicità f( -l ) = f ( l )
Bsin( -$lambdal$ )+Acos(- $lambdal$ ) = Bsin( $lambdal$ )+Acos( $lambdal$ )
ma non so come andare avanti.....come ottengo A e B?
Dato l'operatore :
H = - $d^2 / dx^2$
che agisce nello spazio $L_+^2$ delle funzioni pari al quadrato sommabili e periodiche nell'intervallo x $in$ [ -l , l ].
Determinare autovalori ed autofunzioni |$f_n$> di H.(non ho trovato il modo di scrivere correttam il ket della notazione di dirac).
Allora i passaggi che ho fatto io sono questi :
- $d^2/dx^2$ f = $lambda^2$f
che è una equazione differenziale del secondo ordine omogenea la cui soluzione (poichè il delta è negativo)è del tipo:
f(x) = Acos(λx)+Bsin(λx)
Applico le condizioni al contorno...cioè la periodicità f( -l ) = f ( l )
Bsin( -$lambdal$ )+Acos(- $lambdal$ ) = Bsin( $lambdal$ )+Acos( $lambdal$ )
ma non so come andare avanti.....come ottengo A e B?
Risposte
Risultando [tex]$B\sin(-\lamba l)=-B\sin(\lamba l)$[/tex] ed [tex]$A\cos(-\lambda l)=A\cos(\lambda l)$[/tex] si ha che $B=0$ (controlla per certezza)!
Per calcolare $A$ non ti saprei suggerire!
EDIT: Grazie Camillo (post successivo)!
Per calcolare $A$ non ti saprei suggerire!
EDIT: Grazie Camillo (post successivo)!
E' piuttosto vero il contrario : $sin x $ è funzione dispari mentre $cos x $ è funzione pari.
non credo...perchè in realta il termine con il coseno si annulla per ogni valore di A.....
Io ho esemplificato una espressione trigoniometrica secondo le regole, il resto per me è oscurità! Mi permetto di dirti di controllare i conti di nuovo, a questo punto.
Ipotizzando $A\ne0$ dovresti calcolarti le soluzioni dell'equazione $\cos(\lambda l)=0$ da cui gli autovalori $\lambda$ in funzione di $l$; supposto strettamente positivo?!
In alternativa, non saprei comunque. Spero di non averti sviato!
Ipotizzando $A\ne0$ dovresti calcolarti le soluzioni dell'equazione $\cos(\lambda l)=0$ da cui gli autovalori $\lambda$ in funzione di $l$; supposto strettamente positivo?!
In alternativa, non saprei comunque. Spero di non averti sviato!
Tentativo di soluzione
$(d^2y)/(dx^2)+lambda^2 y=0 $
da cui la soluzione $y=Acos(lambdax)+B sin(lambdax) $
Imponendo la condizione agli estremi : $ y(l)=y(-l )$ si ottiene $Acos(lambda l) +Bsin(lambdal) =A cos(-lambdal) +Bsin(-lambdal) $ e quindi :
$2B sin (lambda l ) =0 $ da cui
*$B=0 ; y = Acos(lambda x ) $
*$ lambda l = k pi $ con $k in ZZ$ e quindi gli autovalori $lambda= kpi/l $ e le autofunzioni $y=A cos (kpix/l) +Bsin(kpix/l) $
Mi fermo, lascio ad altri completare /correggere...
$(d^2y)/(dx^2)+lambda^2 y=0 $
da cui la soluzione $y=Acos(lambdax)+B sin(lambdax) $
Imponendo la condizione agli estremi : $ y(l)=y(-l )$ si ottiene $Acos(lambda l) +Bsin(lambdal) =A cos(-lambdal) +Bsin(-lambdal) $ e quindi :
$2B sin (lambda l ) =0 $ da cui
*$B=0 ; y = Acos(lambda x ) $
*$ lambda l = k pi $ con $k in ZZ$ e quindi gli autovalori $lambda= kpi/l $ e le autofunzioni $y=A cos (kpix/l) +Bsin(kpix/l) $
Mi fermo, lascio ad altri completare /correggere...
[mod="gugo82"]@qadesh: Non sai quanto trovo irritante che un utente con più di 50 post non abbia ancora imparato ad usare correttamente MathML...
Quindi ti chiedo di inserire le formule come regolamento e rispetto per gli altri utenti comandano.
Fallo entro stasera, altrimenti mi vedrò costretto a prendere provvedimenti.[/mod]
Quindi ti chiedo di inserire le formule come regolamento e rispetto per gli altri utenti comandano.
Fallo entro stasera, altrimenti mi vedrò costretto a prendere provvedimenti.[/mod]
@ gugo : mi aspettavo commenti e correzioni a quanto ho scritto 
@Camillo: Ed io mi aspetto che gli utenti esperti sappiano usare gli strumenti che noi dello staff, con molta fatica, approntiamo per loro...
È una questione di cortesia e buona educazione, non trovi?
Ad ogni modo, nulla da correggere al tuo post.
Andrebbe però specificato che nel caso [tex]$B=0$[/tex] si trova solo la soluzione banale, che non interessa perchè stiamo cercando autofunzioni, i.e. soluzioni non banali per il problema agli estremi con condizioni di periodicità:
(BVP) [tex]$\begin{cases} y^{\prime \prime} +\lambda^2\ y=0 &\text{, in $]-l,l[$}\\
y(l)=y(-l)\end{cases}$[/tex].
Dalla discussione del caso [tex]$B\neq 0$[/tex] consegue immediatamente che gli autovalori dell'operatore differenziale associato a (BVP) sono tutti e soli i numeri nella forma [tex]$\lambda_n := \frac{\pi}{l}\ n$[/tex] con [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] (basta prendere [tex]$n$[/tex] naturale, perchè a [tex]$\lambda_{-n}$[/tex] corrisponde lo stesso problema di [tex]$\lambda_n$[/tex] -infatti tutto dipende da [tex]$\lambda^2$[/tex]-).
Notevole il fatto che [tex]$|\lambda_n| \to +\infty$[/tex]; per chi mastica un po' di Analisi Funzionale ciò è indizio di una notevole proprietà dell'operatore associato a (BVP): quale?
È una questione di cortesia e buona educazione, non trovi?
Ad ogni modo, nulla da correggere al tuo post.
Andrebbe però specificato che nel caso [tex]$B=0$[/tex] si trova solo la soluzione banale, che non interessa perchè stiamo cercando autofunzioni, i.e. soluzioni non banali per il problema agli estremi con condizioni di periodicità:
(BVP) [tex]$\begin{cases} y^{\prime \prime} +\lambda^2\ y=0 &\text{, in $]-l,l[$}\\
y(l)=y(-l)\end{cases}$[/tex].
Dalla discussione del caso [tex]$B\neq 0$[/tex] consegue immediatamente che gli autovalori dell'operatore differenziale associato a (BVP) sono tutti e soli i numeri nella forma [tex]$\lambda_n := \frac{\pi}{l}\ n$[/tex] con [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] (basta prendere [tex]$n$[/tex] naturale, perchè a [tex]$\lambda_{-n}$[/tex] corrisponde lo stesso problema di [tex]$\lambda_n$[/tex] -infatti tutto dipende da [tex]$\lambda^2$[/tex]-).
Notevole il fatto che [tex]$|\lambda_n| \to +\infty$[/tex]; per chi mastica un po' di Analisi Funzionale ciò è indizio di una notevole proprietà dell'operatore associato a (BVP): quale?
poichè sono una persona adulta e non credo di essere stato maleducato non accetto questa bacchettata mi spiace!Le regole sono di usare le formule e infatti le ho usate ma nessuno ha specificato che ad esempio seni e coseni debban essere codificati piuttosto che essere scritti con le normali lettere della tastiera.Stessa cosa per quanto riguarda il simbolo $f(x)$ o anche una semplice somma di termini.Posso ancora ancora accettare la mezza sfuriata iniziale ma da qui a dire che sono maleducato ce ne passa.La richiamo alla moderazione caro moderatore!
[xdom="gugo82"]Che tu la accetti o meno, per me, è del tutto irrilevante.
Noi siam qui per darvi una mano e di solito ci riusciamo alla grande; tutto quel che vi si chiede in cambio è l'adeguarvi ad una non così pesante netiquette.
Chiudo.
Spero che tu voglia aprire un altro thread seguendo le indicazioni date dal regolamento (cfr. sezione 3; in particolare nella 3.6b non mi pare figurino eccezioni per i vari tipi di formule, quindi... Occhio che gli specchi son scivolosi!) e riassunte in questo avviso.
P.S.: Se avessi letto con attenzione, avresti capito che non era la "volontà di offendere" non era contemplata nel senso delle prime due righe del mio post precedente.
Cercavo solo cercato di ribadire a Camillo il mio (peraltro già noto) punto di vista sulla "questione formule"...[/xdom]
[xdom="gugo82"]Che tu la accetti o meno, per me, è del tutto irrilevante.
Noi siam qui per darvi una mano e di solito ci riusciamo alla grande; tutto quel che vi si chiede in cambio è l'adeguarvi ad una non così pesante netiquette.
Chiudo.
Spero che tu voglia aprire un altro thread seguendo le indicazioni date dal regolamento (cfr. sezione 3; in particolare nella 3.6b non mi pare figurino eccezioni per i vari tipi di formule, quindi... Occhio che gli specchi son scivolosi!) e riassunte in questo avviso.
P.S.: Se avessi letto con attenzione, avresti capito che non era la "volontà di offendere" non era contemplata nel senso delle prime due righe del mio post precedente.
Cercavo solo cercato di ribadire a Camillo il mio (peraltro già noto) punto di vista sulla "questione formule"...[/xdom]
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