Equazione a variabili separabili

[anto84gr-votailprof]

Ciao ragazzi..ho un problema e credo sia dovuto ad un po' di stanchezza,ma non riesco a risolvere questa equazione!!!

$ u'(t) = (1-u^2)sint $

Allora innanzi tutto devo vedere quale è il suo dominio : f: $ cc(R) X cc(R) rarr cc(R) = (cc(R)) ^2 rarr cc(R) $ Giusto?

Adesso procedo così:

$ int ((u'(t))/(1-u^2(t)))dt = int sint dt$

Ma il primo integrale mi dà alcune difficoltà...come devo fare?

[j18eos]

I) Un'equazione in 3 eguaglianze???

II) Per quanto riguarda l'integrale ricordati che [tex]$d(u(t))=\dot u(t)dt$[/tex]!

[anto84gr-votailprof]

Scusate correggo!!!

[j18eos]

Ah, non per continuare ad essere il cattivo del post ma dovresti dirci chi è quella funzione che tu chiami [tex]$f$[/tex]?

Di nulla!

[Camillo]

Così

$int (du)/(1-u^2) =int sin (t)dt $

[anto84gr-votailprof]

La f è $(1-u^2(t))sint$
Avevo pensato di fare: pongo $y=u(t)$
$ int (y/(1-y^2))dy=int 1/(1-y)dyint1/(1+y)dy $

Poi lo risolvo con A e B, cioè

$ A/(1-y)+B/(1+y) $

Risolvo e ottengo $A=B=1/2$

Giusto?

[j18eos]

No! Bonariamente suppongo che in quel prodotto d'integrali in realtà ci mancano il segno [tex]$+$[/tex] e le lettere [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], poi questa sostituzione di variabili è inutile; procedi come t'abbiamo suggerito io e Camillo.

[anto84gr-votailprof]

Ma non riesco a capire....altri esercizi simili me li hanno fatti fare così!!!

[Camillo]

"Camillo":Così

$int (du)/(1-u^2) =int sin (t)dt $

Parti da qui e poni $ 1/(1-u^2) = A/(1-u)+B/(1+u ) $ determina $ A,B $ e poi integra...

[anto84gr-votailprof]

Ok ho risolto e ottenuto che l'integrale vale

$ 1/2log|(1+u)/(1-u)| $

Adesso se non è sbagliato devo fare così:

$ 1/2log|(1+u)/(1-u)| = -cost + c $

Quindi $ log|(1+u)/(1-u)| = -2cost + d $

Ancora $ (1+u)/(1-u) = e^(-2cost)k $

E ora?

[j18eos]

Risolvila come un'equazione fratta nell'incognita u!

[Camillo]

Prima di tutto andavano considerate le soluzioni costanti $u=+-1$ che annullano il secondo membro e verificano l'equazione differenziale.