Equazione a variabili separabili

[kioccolatino90]

Ciao a tutti ho l'equazione differenziale: $(e^x+e^(-x))y'=sqrt(1-y^2)(e^x-e^(-x))$ e la riscrivo come:

$dy/(sqrt(1-y^2))= (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) dx$ ovvero $intdy/(sqrt(1-y^2))= int(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) dx$

il primo integrale è uguale a $arcsiny+C$, il secondo lo calcolo per sostituzione ponendo $t=e^x$ e facendo i conti mi esce che è uguale a $ln(1+e^(2x))-x+C $ e si ha:

$arcsiny= ln(1+e^(2x))-x+C $

per cui gli infiniti integrali generali dell'eq. diff. sono:

$y(x)=sin [ln(1+e^(2x))-x+C ]$ però il risultato non si trova con quello del libro ma per poco, cioè deve essere:

$y(x)=- sin [x-c-ln(1+e^(2x)) ]$ cambia il segno al seno e all'argomento del seno perchè???

[Demostene92]

Probabilmente l'intenzione era quella di applicare $sin(-\alpha)=-sin(\alpha)$. Il tuo risultato è corretto, ma non mi torna una cosa, cioè un fattore $ln(2)$. Che tu l'abbia inglobato nella costante $c$ ?

$(e^x+e^-x)y'=sqrt(1-y^2)(e^x-e^-x) ->2coshx*y'=sqrt(1-y^2)*2sinhx->\int1/sqrt(1-y^2)dy=\int tanhxdx$
$->arcsin(y)=ln(coshx)+c=ln((e^x+e^-x)/2)+c=ln[e^-x((1+e^(2x))/2)]+c=$
$=-x+ln(1+e^(2x))-ln(2)+c$

Quindi in definitiva:

$y=sin[ln(1+e^(2x))-x-ln(2)+c]$.

[kioccolatino90]

perchè non è possibile applicare $sin (-alpha)= -sin (alpha)$ ??? comunque si ho inglobato $ln(2)$ in $C$...

[Demostene92]

E' possibile ma non ne vedo il motivo. I due risultati sono esattamente uguali.