Equazione
Ragazzi, ho un esercizio che dice così: Mostrare che l'equazione $ 1+e^{x}-|x-1|=0 $ ammette almeno una soluzione positiva... Io ho detto che il limite destro e sinistro all'infinito è ancora $ +oo $ e $ -oo $... Poi ho usato il teorema dei valori intermedi e degli zeri per dire che ha soluzione in quanto è una funzione continua... Poi ho preso il punto x=0 e ho visto che è positivo e f(0)=1... Quindi ho usato di nuovo il teorema degli 0 e ho visto che ha una soluzione negativa... Il punto però è questo: posso prendere il punto x=0 così a caso o ci sono altri modi per dire che ha soluzioni negative???
Risposte
Se non ho capito male il problema ti chiede di dimostrare che esiste almento una soluzione positiva, tu hai dimostrato che ne esite una negativa
Volevo scrivere negativa... E io chiedevo se fosse così la dimostrazione o se era un po' azzardata...
Devi usare meglio il teorema degli zeri, sfruttando anche la monotonia della funzione. Detta [tex]$f(x)=1+e^x-|x-1|$[/tex] possiamo scrivere
[tex]$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
2+e^x-x & & x\ge 1\\ & & \\ e^x+x & & x<1
\end{array}$[/tex]
La funzione è definita e continua su tutto l'asse reale ed inoltre [tex]$\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\pm\infty$[/tex]. Per la derivata si ha
[tex]$f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
e^x-1 & & x\ge 1\\ & & \\ e^x+1 & & x<1
\end{array}$[/tex]
Il ramo della derivata definito per [tex]$x<1$[/tex] risulta sempre positivo, per cui la funzione è sicuramente monotona strettamente crescente su [tex]$(-\infty,1)$[/tex]. Avendosi [tex]$f(1)=1+e>0$[/tex] la funzione cambia segno sull'intervallo [tex](-\infty,1)[/tex] per cui esiste uno zero in tale intervallo.
Il ramo della funzione per [tex]$x\in[1,+\infty)$[/tex] risulta crescente per [tex]$e^x-1>0$[/tex] cioè per [tex]$x>0$[/tex]: ma allora sull'intervallo [tex]$[1,+\infty)$[/tex] anche questo ramo risulta strettamente crescente e la funzione non cambia segno, per cui non esistono radici.
Ora ci poniamo il problema di dove si trovi la radice [tex]$\alpha\in(-\infty,1)$[/tex]. Poiché [tex]$f(0)=1>0$[/tex] la funzione risulta sempre positiva su [tex]$(0,1)$[/tex] (per quanto detto prima) e quindi risulta che [tex]$\alpha\in(-\infty,0)$[/tex], cioè [tex]$\alpha<0$[/tex].
Attento a quello che scrivi: tu dimostri sì che c'è una radice, ma non puoi affermare che essa sia unica, se non guardi la monotonia della funzione.
[tex]$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
2+e^x-x & & x\ge 1\\ & & \\ e^x+x & & x<1
\end{array}$[/tex]
La funzione è definita e continua su tutto l'asse reale ed inoltre [tex]$\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\pm\infty$[/tex]. Per la derivata si ha
[tex]$f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
e^x-1 & & x\ge 1\\ & & \\ e^x+1 & & x<1
\end{array}$[/tex]
Il ramo della derivata definito per [tex]$x<1$[/tex] risulta sempre positivo, per cui la funzione è sicuramente monotona strettamente crescente su [tex]$(-\infty,1)$[/tex]. Avendosi [tex]$f(1)=1+e>0$[/tex] la funzione cambia segno sull'intervallo [tex](-\infty,1)[/tex] per cui esiste uno zero in tale intervallo.
Il ramo della funzione per [tex]$x\in[1,+\infty)$[/tex] risulta crescente per [tex]$e^x-1>0$[/tex] cioè per [tex]$x>0$[/tex]: ma allora sull'intervallo [tex]$[1,+\infty)$[/tex] anche questo ramo risulta strettamente crescente e la funzione non cambia segno, per cui non esistono radici.
Ora ci poniamo il problema di dove si trovi la radice [tex]$\alpha\in(-\infty,1)$[/tex]. Poiché [tex]$f(0)=1>0$[/tex] la funzione risulta sempre positiva su [tex]$(0,1)$[/tex] (per quanto detto prima) e quindi risulta che [tex]$\alpha\in(-\infty,0)$[/tex], cioè [tex]$\alpha<0$[/tex].
Attento a quello che scrivi: tu dimostri sì che c'è una radice, ma non puoi affermare che essa sia unica, se non guardi la monotonia della funzione.
Sì, è quello che pensavo anche io e c'ero arrivato anche se non mi interessa dimostrarne l'unicità perchè devo dire che almeno una è negativa... Quello che mi chiedevo io era se fosse possibile scrivere f(0)=1 così, senza teoremi, solo tramite un calcolo nel punto in cui interseca l'asse delle ordinate... Cioè, volevo sapere se ci fosse un modo ancor più teorico, per intendersi... Non posso prendere x=0 e buttarcelo lì e dire: "Guarda, fa 1, che fortuna! Allora applico il teorema degli zeri di nuovo!!!"... Questo intendevo... Capire perchè scelgo proprio quel punto... Comunque, grazie di tutto davvero!!!
Guarda, se segui il ragionamento che ho fatto, il fatto di calcolare la funzione in $x=0$ non è buttato lì a caso: so che la radice sta nell'intervallo $(-\infty,1)$ e mi chiedo se sia positiva oppure negativa. Allora la cosa migliore per verificare è vedere cosa accade nel punto che separa i due insiemi numerici positivi/negativi. A volte alcune delle cose che si fanno in questi esercizi sono delle piccole intuizioni (sensate) il cui essere lecito in un certo senso segue a posteriori.
Hai ragione, non ci avevo pensato, grazie...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo