Equazione 6° da linearizzazione taylor
ciao
ho il seguente sistema di equazioni dove beta e b sono le incognite
$ { ( b=(c cosgamma+a)/cos beta ),( beta = arcsin((c sin gamma)/b) ):} $
da qui io linearizzo usando taylor(è la prima cosa che mi è venuta in mente) fino al secondo ordine per evitare una equazione transcendentale
$ { ( b=(c cosgamma+a)/cos beta ),( beta = arcsin((c sin gamma)/b) ):}
{ ( b=(c(1-gamma^2/2)+a)/(1-beta^2/2) ),( beta= (c singamma)/b+(c^3sin^3gamma)/(6b^3) ):} $
qui il primo dubbio se posso ancora applicare taylor per linearizzare un ulteriore volta per semplicare l equazione
andando sostituire beta nella prima e facendo i vari passaggi mi ritrovo con questa espressione
$ (12b^6-72b^5(c(1-gamma^2/2)+a)-36b^4sin^2gamma+12b^2c^3sin^4gamma+c^6sin^6gamma)/(72b^5)=0 $
solo che non riesco a scomporla....qualcuno ha qualche dritta da darmi?
ho il seguente sistema di equazioni dove beta e b sono le incognite
$ { ( b=(c cosgamma+a)/cos beta ),( beta = arcsin((c sin gamma)/b) ):} $
da qui io linearizzo usando taylor(è la prima cosa che mi è venuta in mente) fino al secondo ordine per evitare una equazione transcendentale
$ { ( b=(c cosgamma+a)/cos beta ),( beta = arcsin((c sin gamma)/b) ):}
{ ( b=(c(1-gamma^2/2)+a)/(1-beta^2/2) ),( beta= (c singamma)/b+(c^3sin^3gamma)/(6b^3) ):} $
qui il primo dubbio se posso ancora applicare taylor per linearizzare un ulteriore volta per semplicare l equazione
andando sostituire beta nella prima e facendo i vari passaggi mi ritrovo con questa espressione
$ (12b^6-72b^5(c(1-gamma^2/2)+a)-36b^4sin^2gamma+12b^2c^3sin^4gamma+c^6sin^6gamma)/(72b^5)=0 $
solo che non riesco a scomporla....qualcuno ha qualche dritta da darmi?
Risposte
Ciao gaussie,
Innanzitutto si dice trascendente, poi se hai
la cosa più comoda mi pare quella di sostituire l'espressione di $\beta $ data dalla seconda equazione nella prima, tenendo conto che per $-1 <= x <= 1 $ si ha:
$ cos(arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2} $
ove nel caso in esame $x := (c sin\gamma)/b $
Se poi, come credo, $a $, $b$ e $c$ sono quantità positive, le cose si semplificano ulteriormente...
"gaussie":
[...] per evitare una equazione transcendentale
Innanzitutto si dice trascendente, poi se hai
"gaussie":
il seguente sistema di equazioni dove $\beta$ e $b $ sono le incognite
${(b=(c cos\gamma+a)/cos\beta ),(\beta = arcsin((c sin\gamma)/b)):}$
la cosa più comoda mi pare quella di sostituire l'espressione di $\beta $ data dalla seconda equazione nella prima, tenendo conto che per $-1 <= x <= 1 $ si ha:
$ cos(arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2} $
ove nel caso in esame $x := (c sin\gamma)/b $
Se poi, come credo, $a $, $b$ e $c$ sono quantità positive, le cose si semplificano ulteriormente...
grandeee
sei un figo
non conoscevo l identita del cos e arcsin...
ti devo un barile di birra!
sei un figo
non conoscevo l identita del cos e arcsin...
ti devo un barile di birra!
"gaussie":
grandeee
sei un figo
Grazie, troppo buono...
"gaussie":
non conoscevo l identita del cos e arcsin...
Si tratta di identità fra funzioni trigonometriche inverse, nel caso specifico:
$ arcsin(x) = arccos\sqrt{1 - x^2} \implies cos(arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2} $
Ve ne sono diverse altre che ti invito ad andare a vedere...
Per curiosità, ci sono motivi particolari per affrontarla nell'ambito dell'analisi? Se non è obbligatorio, si può ridurre a
\begin{equation}\left\{ \begin{array}{rl} b \cos \beta &= c \cos \gamma + a \\ b \sin \beta &= c \sin \gamma \end{array} \right. \end{equation}
Elevando al quadrato le equazioni e sommando ottieni $b$, e di conseguenza $\beta$.
\begin{equation}\left\{ \begin{array}{rl} b \cos \beta &= c \cos \gamma + a \\ b \sin \beta &= c \sin \gamma \end{array} \right. \end{equation}
Elevando al quadrato le equazioni e sommando ottieni $b$, e di conseguenza $\beta$.
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