Equazione

[dazuco]

Chi mi aiuta a risolvere:

Mostrare che l'equazione
(e^x) - (x) + sin (x) = 0
ha almeno una soluzione reale

grazie

[goblyn]

si può riscrivere come:

e^x = x-sin(x)

quindi, essendo l'esponenziale >0:

x-sin(x)>0

x>sin(x)

che ha soluzione x>0

Quindi, se esiste una soluzione, questa è positiva.

Espandiamo in serie l'esponenziale e il seno:

e^x = 1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/6 + (x^4)/(4!) + (x^5)/(5!) + ...
sin(x) = x - (x^3)/6 + (x^5)/(5!) + ...

Quindi, sostituendo nell'equazione...

1 + x + (x^2)/2 + (x^4)/(4!) + 2*(x^5)/(5!) + ... = 0

Sono tutti termini positivi se x>0 !!!

Il risultato di quella somma è per forza un numero >1. Non esistono soluzioni reali. L'ho verificato anche facendo un grafico... ho plottato solo la parte intorno al minimo che, come si vede, è maggiore di 0.



Modificato da - goblyn il 15/09/2003 00:41:05

[goblyn]

forse quelle parentesi tonde intorno alla x sono un modulo...?

In tal caso...

abbiamo dimostrato che per x>=0 non ci sono soluzioni. Allora, per x<=0:

y(x) = e^x + x + sinx

è una funzione continua in R
y(-2)<0
y(0)>0

Quindi esiste un p tale che y(p)=0, con -2
cvd!!!




Modificato da - goblyn il 15/09/2003 00:53:13