Equazione 2° grado complicata da radicali
Buongiorno, sono una autodidatta di età avanzata. Sto cercando di affrontare Algebra lineare e sto visionando un eserciziario universitario (esercizio risolto) per il quale è previsto risolvere una equazione che mi risulta complicata: vorrei un aiuto a capire dove sbaglio ed un suggerimento. Grazie in anticipo. Ecco l'esercizio.
Dalla formula di prodotto scalare si sta cercando il coseno:
$ (2x+y+z)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)sqrt(6))= 1/2 $
Inoltre si pone :
$ -y+2z = 0 $
e quindi (ricavando y dall'ultima e sostituendo (e quadrando ?) nella prima si ottiene:
$ 10x^2-26z^2+16xz= 0 $
Io ho effettuato questi calcoli:
moltiplico num+den per radicali denominatore (eliminare radice al den)
$ (sqrt(x^2+y^2+z^2) sqrt(6) (2x+y+z)) / (6x^2+6y^2+z^2) = 1/4 $
dopo aver sostituito y=2z (imposto da 2a uguaglianza per ortogonalità)
elevo tutto al quadrato (per eliminare radicale al numeratore) e ottengo:
$ ((x^2+5z^2).6.(4x^2+9z^2))/ (36x^4+324z^4) = 1/4 $
ho eseguito le diverse moltiplicazioni e aggregato i monomi simili:
$ (24x^4+174x^2z^2+270z^4)/(36x^4+324z^4) = 1/4 $
a questo punto non mi pare di vedere relazione tra i numeri 24 - 174 - 270 tali da far scaturire un prodotto notevole, non so più che pesci pigliare.
Potreste aiutarmi?
Grazie e molti cordiali saluti e auguri di buone (e meritate) vacanze (o in bocca al lupo a chi è sotto esami).
Rosa munda
Dalla formula di prodotto scalare si sta cercando il coseno:
$ (2x+y+z)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)sqrt(6))= 1/2 $
Inoltre si pone :
$ -y+2z = 0 $
e quindi (ricavando y dall'ultima e sostituendo (e quadrando ?) nella prima si ottiene:
$ 10x^2-26z^2+16xz= 0 $
Io ho effettuato questi calcoli:
moltiplico num+den per radicali denominatore (eliminare radice al den)
$ (sqrt(x^2+y^2+z^2) sqrt(6) (2x+y+z)) / (6x^2+6y^2+z^2) = 1/4 $
dopo aver sostituito y=2z (imposto da 2a uguaglianza per ortogonalità)
elevo tutto al quadrato (per eliminare radicale al numeratore) e ottengo:
$ ((x^2+5z^2).6.(4x^2+9z^2))/ (36x^4+324z^4) = 1/4 $
ho eseguito le diverse moltiplicazioni e aggregato i monomi simili:
$ (24x^4+174x^2z^2+270z^4)/(36x^4+324z^4) = 1/4 $
a questo punto non mi pare di vedere relazione tra i numeri 24 - 174 - 270 tali da far scaturire un prodotto notevole, non so più che pesci pigliare.
Potreste aiutarmi?
Grazie e molti cordiali saluti e auguri di buone (e meritate) vacanze (o in bocca al lupo a chi è sotto esami).
Rosa munda
Risposte
Ma qual'è il testo dell'esercizio? trovare un vettore tale che: $ (x,y,z)*(2,1,1)=sqrt(x^2+y^2+z^2)*sqrt(6)/2 $ e inoltre $ y=2z $ ?
Hai solo due equazioni mentre hai tre componenti incognite come speri di trovare una soluzione unica? Potresti porre la norma uguale a uno così togli la radice.
Svolgendo viene: $2x+3z=sqrt(x^2+5z^2)sqrt(6)/2$ a questo punto imponi $ 2x+3z>=0 $ e puoi quadrare e ottieni $ 5x^2+3z^2+24xz=0 $
Hai solo due equazioni mentre hai tre componenti incognite come speri di trovare una soluzione unica? Potresti porre la norma uguale a uno così togli la radice.
Svolgendo viene: $2x+3z=sqrt(x^2+5z^2)sqrt(6)/2$ a questo punto imponi $ 2x+3z>=0 $ e puoi quadrare e ottieni $ 5x^2+3z^2+24xz=0 $
Buongiorno luc.mm
Il testo è questo:
Determinare i vettori u che formano un angolo pari a $ pi /3 $ con il vettore v= $ (2,1,-1) $ e risultano ortogonali al vettore w = $ (0,-1,2) $
Grazie per quanto già hai fatto e in anticipo per ciò che mi dirai.
Buona serata
Rosa Munda
Il testo è questo:
Determinare i vettori u che formano un angolo pari a $ pi /3 $ con il vettore v= $ (2,1,-1) $ e risultano ortogonali al vettore w = $ (0,-1,2) $
Grazie per quanto già hai fatto e in anticipo per ciò che mi dirai.
Buona serata
Rosa Munda
Come dicevo, se riesci a visualizzare il problema, la condizione angolare ti da un cono a una falda nello spazio, di vettori di modulo a piacere e direzione sul cono, se imponi l'ortogonalità con un altro vettore vengono selezionate due direzioni possibili, su cui vivono tutti i vettori richiesti, per cui, una volta trovate quelle direzioni con la condizione di norma unitaria (o a piacere), tutti gli altri vettori sono proporzionali a questi con una costante a piacere.
Mi sa che conviene porre la norma pari a $ sqrt(6) $ e quindi il suo quadrato (che utilizzerai come equazione) è $ 6 $.
Hai dunque:
${ (2x+y+z=1/2sqrt(6)norm(x,y,z) ),( y=2z ),( x^2+y^2+z^2=6 ):} $
Che diviene:
${ ( 2x+3z=3) ,( y=2z ),( x^2+5z^2=6 ):} $
${ ( x=(3-3z)/2 ),( y=2z ),( (9-18z+9z^2)/4+5z^2=6 ):} $
A questo punto ricavi le due soluzioni in $ z $ e sostituisci, la soluzione generale saranno le rette passanti per l'origine di tali vettori direzione.
Spero di non aver fatto errori.
Mi sa che conviene porre la norma pari a $ sqrt(6) $ e quindi il suo quadrato (che utilizzerai come equazione) è $ 6 $.
Hai dunque:
${ (2x+y+z=1/2sqrt(6)norm(x,y,z) ),( y=2z ),( x^2+y^2+z^2=6 ):} $
Che diviene:
${ ( 2x+3z=3) ,( y=2z ),( x^2+5z^2=6 ):} $
${ ( x=(3-3z)/2 ),( y=2z ),( (9-18z+9z^2)/4+5z^2=6 ):} $
A questo punto ricavi le due soluzioni in $ z $ e sostituisci, la soluzione generale saranno le rette passanti per l'origine di tali vettori direzione.
Spero di non aver fatto errori.
Sempre gentilissimo luc.mm,
veramente grazie, ti sei prodigato molto. Scusa questo ritardo, ma ho avuto problemi.
Devo dirti che mi sento abbastanza imbarazzata, perché tu ti stai dannando per risolvere il problema di A.L., ma in effetti, come già scritto, io sto riportando un esercizio già risolto che però mi presenta un "salto" dall'equazione iniziale ad una equazione finale a cui non sono stata capace di pervenire con i miei calcoli. Se hai quindi voglia di farmi capire quali passaggi bisogna fare da (A) a (B) te ne sarò grata.
Aggiungo che, purtroppo io sono alle prime armi in A.L. (pure autodidatta) e pure arrugginita per il resto e non sono in grado di comprendere appieno la tua risoluzione. Posso solo dirti che il libro di esercizi risolti da cui ho tratto questo esercizio mi racconta quanto segue, quale soluzione del problema:
- dette x y z le componenti del vettore u (non nullo), la condizione che questo formi un angolo $ pi /3 $ con il vettore v = (2,1,-1) implica:
$ (vec(u)vec(v))/(||vec(u)|| || vec(v)||)=cos(pi /3)=1/2 $
ciò che si traduce :
$ (2x+y-z)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)sqrt(6)) = 1/2 $ FORMULA INIZIALE (A)
La condizione di ortogonalità di u con w = (0,-1,2), comporta:
$ 0= u\cdot w= -y+2z $
da cui ricaviamo
$ y= 2z $
Sostituendo nella condizione precedente e quadrando, otteniamo:
$ 10x^2-26z^2+16xz = 0 $ FORMULA RISOLUTIVA (B)
Osserviamo che se fosse z = 0, tenuto conto anche della condizione di ortogonalità, avremmo $ x=y=0 $ e quindi un vettore nullo. Dovendo escludere questa eventualità, possiamo quindi dividere l'ultima equazione per $ z^2 $ e, posto $ x/z=t $ otteniamo
$ 5t^2+8t-13 = 0 $ $ rArr $ $ t=-13/5$ oppure $ t=1$
Si ottengono così due soluzioni, a meno del valore $z$ che rimane arbitrario. Nel primo caso, posto $z=-5k$ ricaviamo $u=k(13,-10,-5)$ , nel secondo caso, posto $z=h$, otteniamo $ u=h(1,2,1)$.
FINE
Buona serata e grazie anticipatamente.
Rosa munda
veramente grazie, ti sei prodigato molto. Scusa questo ritardo, ma ho avuto problemi.
Devo dirti che mi sento abbastanza imbarazzata, perché tu ti stai dannando per risolvere il problema di A.L., ma in effetti, come già scritto, io sto riportando un esercizio già risolto che però mi presenta un "salto" dall'equazione iniziale ad una equazione finale a cui non sono stata capace di pervenire con i miei calcoli. Se hai quindi voglia di farmi capire quali passaggi bisogna fare da (A) a (B) te ne sarò grata.
Aggiungo che, purtroppo io sono alle prime armi in A.L. (pure autodidatta) e pure arrugginita per il resto e non sono in grado di comprendere appieno la tua risoluzione. Posso solo dirti che il libro di esercizi risolti da cui ho tratto questo esercizio mi racconta quanto segue, quale soluzione del problema:
- dette x y z le componenti del vettore u (non nullo), la condizione che questo formi un angolo $ pi /3 $ con il vettore v = (2,1,-1) implica:
$ (vec(u)vec(v))/(||vec(u)|| || vec(v)||)=cos(pi /3)=1/2 $
ciò che si traduce :
$ (2x+y-z)/(sqrt(x^2+y^2+z^2)sqrt(6)) = 1/2 $ FORMULA INIZIALE (A)
La condizione di ortogonalità di u con w = (0,-1,2), comporta:
$ 0= u\cdot w= -y+2z $
da cui ricaviamo
$ y= 2z $
Sostituendo nella condizione precedente e quadrando, otteniamo:
$ 10x^2-26z^2+16xz = 0 $ FORMULA RISOLUTIVA (B)
Osserviamo che se fosse z = 0, tenuto conto anche della condizione di ortogonalità, avremmo $ x=y=0 $ e quindi un vettore nullo. Dovendo escludere questa eventualità, possiamo quindi dividere l'ultima equazione per $ z^2 $ e, posto $ x/z=t $ otteniamo
$ 5t^2+8t-13 = 0 $ $ rArr $ $ t=-13/5$ oppure $ t=1$
Si ottengono così due soluzioni, a meno del valore $z$ che rimane arbitrario. Nel primo caso, posto $z=-5k$ ricaviamo $u=k(13,-10,-5)$ , nel secondo caso, posto $z=h$, otteniamo $ u=h(1,2,1)$.
FINE
Buona serata e grazie anticipatamente.
Rosa munda
Ok, ti sei accorta che c'è un errore di segno nel tuo primo post e nell'ultimo, il numeratore è nel primo $ 2x+y+z $ nell'ultimo è $ 2x+y-z $ infatti facendo i passaggi indicati il conto viene giusto su quell'equazione.
E' corretto il secondo con il "meno".
Grazie
Rosa munda
Grazie
Rosa munda
Si è corretto, anchio non me ne sono accorto subito. Non capisco cosa non ti è chiaro nel passare da una formula all'altra?
Hai un vettore di tre componenti incognite, imponi le condizioni e risolvi le equazioni.
Per quanto riguarda il quadrare, se hai l'equazione $ A(x)=sqrt(B(x) $ essa è equivalente al seguente sistema:
$ { ( A(x)>=0 ),( B(x)>=0 ),( A^2(x)=B(x) ):} $
Per quanto riguarda $ A(x)>=0 $ secondo me nell'esercizio se l'è dimenticato. $ B(x)>=0 $ per ogni $(x,z)$ essendo somma di quadrati. A per $A(x) $ intendo una generica funzione in un qualsiasi numero di variabili.
Dalla seconda formula in poi, divide per zeta, osservando che imporre $ z=0 $ da il vettore nullo che tu avevi già scartato come soluzione. Poi non mi sembra ci siano troppi problemi, se hai ancora bisogno dimmi pure.
Hai un vettore di tre componenti incognite, imponi le condizioni e risolvi le equazioni.
Per quanto riguarda il quadrare, se hai l'equazione $ A(x)=sqrt(B(x) $ essa è equivalente al seguente sistema:
$ { ( A(x)>=0 ),( B(x)>=0 ),( A^2(x)=B(x) ):} $
Per quanto riguarda $ A(x)>=0 $ secondo me nell'esercizio se l'è dimenticato. $ B(x)>=0 $ per ogni $(x,z)$ essendo somma di quadrati. A per $A(x) $ intendo una generica funzione in un qualsiasi numero di variabili.
Dalla seconda formula in poi, divide per zeta, osservando che imporre $ z=0 $ da il vettore nullo che tu avevi già scartato come soluzione. Poi non mi sembra ci siano troppi problemi, se hai ancora bisogno dimmi pure.
Provo a rifare i calcoli perché ho usato il "più".
Grazie
Rosa munda
Grazie
Rosa munda
Comunque ti è chiaro perchè posso imporre un valore arbitrario alla norma?
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