Equaz.differenziale coeff.variabili [risolto]

[katiat89]

ciao, ho un dubbio con questa equazione differenziale, io la svolgerei così:

$y'(x)-((2x)/(1+x^2))y(x) = 3x+3x^2

moltiplico tutto per $e^A(x)$ con $A(x)=-log(1+x^2)

e mi risulta come prima soluzione $e^-A(x)$ , cioè $e^log(1+x^2)$ = $1+x^2$

poi faccio l'integrale del secondo membro moltiplicato per $e^A(x)

$\int(3x+3x^3)/(1+x^2)$ = $\int3x$ = $(3/2)x^2

adesso io sommo le due soluzioni, ma il testo me ne aggiunge un'altra $(3/2)x^4$ e non capisco da dove la ricavi....

grazie!!! ciao

[ciampax]

No! Questa è un'equazione lienare del primo ordine, la soluzione si ottiene scrivendo questa "formuletta"

$y(x)=e^{-A(x)}[\int e^{A(x)}\ q(x)\ dx+c]$

dove $q(x)$ è il termine non omogeneo e, nel tuo caso, vale $q(x)=3x+3x^2$.

[katiat89]

grazie mille!!!!!!!
quindi con queste equazioni, alla soluzione dell'equazione omogenea devo sempre sommare il valore della formula $y(x)$ che mi hai scritto tu?

grazie davvero, non l'avevo capito...

[ciampax]

Noooooooooooooooooooooo!!!!!!!!!!!!! E' quella la soluzione! Non devi sommare niente! Allora ti illustro il procedimento: se hai l'equazione

$y'+p(x)\cdot y=q(x)$

basta moltiplicare a destra e sinistra per $e^{P(x)}$ dove $P(x)=\int p(x)\ dx$. Allora puoi scrivere

$y' e^{P}+p e^{P} y=q e^{P}$ da cui $(y e^{P})'=q e^{P}$ ed integrando

$y e^{P}=\int q e^{P}\ dx+c$. Portando l'esponenziale a sinistra nel membro destro ottieni la formula che ti ho scritto prima.

[katiat89]

Ok, adesso ho capito tutto!!!
hai ragione, io non moltiplicavo per la costante, così i risultati non mi venivano e pensavo a mille modi alternativi per risolvere le equazioni.....
grazie davvero!!!!! ciao ciao