Equaz. differenziale con trasformata di laplace
Salve a tutti! Vorrei una dritta per la risoluzione di questa equazione differenziale con l'utilizzo della trasformata di Laplace:
\(\displaystyle y''+2xy'-4y=2x+2 \) con \(\displaystyle y(0)=0 \) e \(\displaystyle y'(0)=-1 \)
Applicando la trasformata a ciascun termine sono giunto a questa nuova equazione differenziale del primo ordine:
\(\displaystyle F'(s)=\frac{s^2-6}{2s}F(s)-\frac{2+2s-s^2}{2s^3} \) dove ho indicato con \(\displaystyle F(s) \) la trasformata di Laplace. A questo punto mi sono ricavato \(\displaystyle F(s) \) con la formula di risoluzione per le equazioni differenziali lineari del primo ordine ottenendo:
\(\displaystyle F(s)=c\frac{e^\frac{s^2}{4}}{s^3}+\frac{2}{s^3}-\frac{1}{s^2} \) (spero di non aver sbagliato i calcoli!)
In ogni caso, ora devo antitrasformare ciascun termine per ottenere la \(\displaystyle y(x) \). Le antitrasformate degli ultimi due termini sono immediate, ma ho qualche problema nell'antitrasformare il termine con l'esponenziale. Come potrei fare? Grazie in anticipo.
\(\displaystyle y''+2xy'-4y=2x+2 \) con \(\displaystyle y(0)=0 \) e \(\displaystyle y'(0)=-1 \)
Applicando la trasformata a ciascun termine sono giunto a questa nuova equazione differenziale del primo ordine:
\(\displaystyle F'(s)=\frac{s^2-6}{2s}F(s)-\frac{2+2s-s^2}{2s^3} \) dove ho indicato con \(\displaystyle F(s) \) la trasformata di Laplace. A questo punto mi sono ricavato \(\displaystyle F(s) \) con la formula di risoluzione per le equazioni differenziali lineari del primo ordine ottenendo:
\(\displaystyle F(s)=c\frac{e^\frac{s^2}{4}}{s^3}+\frac{2}{s^3}-\frac{1}{s^2} \) (spero di non aver sbagliato i calcoli!)
In ogni caso, ora devo antitrasformare ciascun termine per ottenere la \(\displaystyle y(x) \). Le antitrasformate degli ultimi due termini sono immediate, ma ho qualche problema nell'antitrasformare il termine con l'esponenziale. Come potrei fare? Grazie in anticipo.
Risposte
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La soluzione che ottieni con il metodo di Laplace deve essere limitata per $s\to\infty$. Quella che hai scritto lo può essere se e solo se...
Devo quindi considerare la condizione per cui $\lim_{s \to \infty}F(s)=0$, che in questo caso si ha solo per \(\displaystyle c=0 \), giusto?
Ya!
Grazie ciampax sempre chiarissimo! Un'ultima cosa: questa condizione può essere sempre utile per ricavare la costante \(\displaystyle c \) ? Cioè, in questo caso particolare \(\displaystyle c=0 \) e quindi è semplicissimo trovare l'antitrasformata cercata, in quanto si annulla il termine con l'esponenziale. Quello che vorrei capire è se, applicando questa condizione, può essere sempre possibile giungere alla soluzione anche quando alcuni termini di \(\displaystyle F(s) \) non siano facilmente antitrasformabili e non si annullino come accade in questo caso particolare.
Questa condizione va applicata sempre: è ovvio che potrebbero esserci casi in cui non ottieni informazioni aggiuntive, ma di solito è questa che permette di determinare la costante arbitraria utile a sistemare le cose (anche perché, in genere, le condizioni iniziali del problema originale sono state già sfruttate nel processo di trasformazione dell'equazione stessa).
Grazie mille ciampax!
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