Equaizoni diff. variabili separabili: Intervallo di definizione
Buonasera a tutti!
i frequentatori assidui del forum inizieranno ad odiarmi lo so, mi sono appena iscritto ma chiedo cose a valanga, scusatemi ma quando una materia mi prende la mia vita sociale finisce e posti come questo diventano come casa ahahha
Stavo facendo degli esercizi sulle equazioni differenziali, in modo più specifico sono a variabili separabili con una condizione iniziale.
Ho trovato che in alcuni esercizi mi chiedono di trovare quale tra le varie soluzioni iniziali che mi offrono ammette una soluzione con intervallo di definizione limitato.
Facendo un esempio pratico:
$y' = -18x(y-1)^2$ con situazione iniziale $y(0)=2$
Mi si chiede se effettivamente questa equazione differenziale ha una soluzione con intervallo di definizione limitato.
Vedendo che è a variabili separabili pongo $(y-1)^2=0$ per trovare le soluzioni stazionarie e trovo che $y(x)=1$ è una soluzione stazionaria; ma visto che non soddisfa la mia situazione iniziale la scarto.
Ma, se non ho sbagliato a comprendere qualcosa dalla teoria, ora, dato che devo dividere per (y-1)^2, vado a scindere il dominio in due parti: la prima $(-∞,1)$ e la seconda $(1,+∞)$. (e lavorando con quella condizione iniziale uso il secondo, dato che ho un 2, il quale appartiene al secondo insieme)
Detto ciò separo le variabili e integro ottenendo così:
$-1/(y-1) = -9x^2 + c$
Ora applico la mia condizione iniziale per trovare la mia c e trovo che $c = -1$
Sostituendo c e esplicitando la y ottengo:
$y = -1/(-9x^2 - 1) +1$
Ora posso trovare il mio intervallo di definizione, questa credo sia la parte errata, ponendo y>1 (dato che il mio insieme di definizione è quello) e ottengo:
$-1/(-9x^2 -1) +1 -1 >=0$ ovvero $-1/(-9x^2-1) >= 0$
EDIT: mi sono accorto ora di aver sbagliato a trascrivere il segno di C di conseguenza i calcoli sotto sono tutti completamente sbagliati ma li lascio solo per farvi capire la logica che penso ci sia dietro a questo esercizio: effettivamente vorrei solo riuscire a capire come riuscire a verificare che l'intervallo di definizione sia illimitato/limitato in un esercizio di questo tipo.
Ora studiando la disequazione ottengo
N>=0 per ogni x appartenente a R
D>0 $-9x^2 > -1$ che diventa $x^2 < 1/9$ è infine $-sqrt(1/9) < x < sqrt(1/9)$
Mettendo insieme i risultati con il solito schemino con i + e i - ottendo che il rapposto è >=0 quando x è $-sqrt(1/9) < x < sqrt(1/9)$
Ora che ho ottenuto questo intervallino, come determino se effettivamente la soluzione ha un intervallo di definizione limitato dati questi dati? è come se avessi trovato che la mia soluzione sta tra $-0,33$ e $0,33$
entrambi sono minori di 1 e quindi non so come rapportarmi con gli insiemi trovati in partenza.
Sto perdendo più tempo a tentare di cercare esercizi svolti online che studiare; ogni volta che apro un pdf mi trovo di fronte cose differenti
Spero di essere stato chiaro in tutto.
P.S. potrei aver fatto qualche errore di calcolo visto che sto riscrivendo tutto per l'ennesima volta ma questa volta in piedi, in treno. nel caso mi scuso in anticipo
i frequentatori assidui del forum inizieranno ad odiarmi lo so, mi sono appena iscritto ma chiedo cose a valanga, scusatemi ma quando una materia mi prende la mia vita sociale finisce e posti come questo diventano come casa ahahha
Stavo facendo degli esercizi sulle equazioni differenziali, in modo più specifico sono a variabili separabili con una condizione iniziale.
Ho trovato che in alcuni esercizi mi chiedono di trovare quale tra le varie soluzioni iniziali che mi offrono ammette una soluzione con intervallo di definizione limitato.
Facendo un esempio pratico:
$y' = -18x(y-1)^2$ con situazione iniziale $y(0)=2$
Mi si chiede se effettivamente questa equazione differenziale ha una soluzione con intervallo di definizione limitato.
Vedendo che è a variabili separabili pongo $(y-1)^2=0$ per trovare le soluzioni stazionarie e trovo che $y(x)=1$ è una soluzione stazionaria; ma visto che non soddisfa la mia situazione iniziale la scarto.
Ma, se non ho sbagliato a comprendere qualcosa dalla teoria, ora, dato che devo dividere per (y-1)^2, vado a scindere il dominio in due parti: la prima $(-∞,1)$ e la seconda $(1,+∞)$. (e lavorando con quella condizione iniziale uso il secondo, dato che ho un 2, il quale appartiene al secondo insieme)
Detto ciò separo le variabili e integro ottenendo così:
$-1/(y-1) = -9x^2 + c$
Ora applico la mia condizione iniziale per trovare la mia c e trovo che $c = -1$
Sostituendo c e esplicitando la y ottengo:
$y = -1/(-9x^2 - 1) +1$
Ora posso trovare il mio intervallo di definizione, questa credo sia la parte errata, ponendo y>1 (dato che il mio insieme di definizione è quello) e ottengo:
$-1/(-9x^2 -1) +1 -1 >=0$ ovvero $-1/(-9x^2-1) >= 0$
EDIT: mi sono accorto ora di aver sbagliato a trascrivere il segno di C di conseguenza i calcoli sotto sono tutti completamente sbagliati ma li lascio solo per farvi capire la logica che penso ci sia dietro a questo esercizio: effettivamente vorrei solo riuscire a capire come riuscire a verificare che l'intervallo di definizione sia illimitato/limitato in un esercizio di questo tipo.
Ora studiando la disequazione ottengo
N>=0 per ogni x appartenente a R
D>0 $-9x^2 > -1$ che diventa $x^2 < 1/9$ è infine $-sqrt(1/9) < x < sqrt(1/9)$
Mettendo insieme i risultati con il solito schemino con i + e i - ottendo che il rapposto è >=0 quando x è $-sqrt(1/9) < x < sqrt(1/9)$
Ora che ho ottenuto questo intervallino, come determino se effettivamente la soluzione ha un intervallo di definizione limitato dati questi dati? è come se avessi trovato che la mia soluzione sta tra $-0,33$ e $0,33$
entrambi sono minori di 1 e quindi non so come rapportarmi con gli insiemi trovati in partenza.
Sto perdendo più tempo a tentare di cercare esercizi svolti online che studiare; ogni volta che apro un pdf mi trovo di fronte cose differenti
Spero di essere stato chiaro in tutto.
P.S. potrei aver fatto qualche errore di calcolo visto che sto riscrivendo tutto per l'ennesima volta ma questa volta in piedi, in treno. nel caso mi scuso in anticipo
Risposte
ops, in effetti hai pienamente ragione! quindi al numeratore diventa "non esiste x appartenente a R" e quindi mi si dovrebbe capovolgere la situazione giusto? al posto di avere i valori interni alle radici, ho gli esterni?
Se sì, come posso arrivare alla mia soluzione e quindi dire che l'intervallo di definizione è limitato se mi trovo appunto
$(-∞,-sqrt(1/9)) e (+sqrt(1/9),+∞)$ ? =(
Se sì, come posso arrivare alla mia soluzione e quindi dire che l'intervallo di definizione è limitato se mi trovo appunto
$(-∞,-sqrt(1/9)) e (+sqrt(1/9),+∞)$ ? =(
Anche io ho trovato la stessa soluzione e non è definita su un intervallo limitato. Quindi la risposta alla domanda è no...
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